Enunciado

Água escoa através de um tubo de 25 mm de diâmetro que subitamente alarga-se para um diâmetro de 50 mm. A vazão através do alargamento é de 1,25 L/s. Calcule o aumento de pressão através do alargamento. Compare com o valor para escoamento sem atrito.

Passo 1

Neste problema é pedido o aumento de pressão devido a uma expansão da tubulação. Para isso será utilizada a Equação da Energia, em J/kg, conforme Figura abaixo:

Será utilizada a equação na forma:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l m

Sendo a perda de carga menor (da expansão) definida como:

h l m = K V 1 2 2

Como hipótese e dados do enunciado tem-se que;

- regime permanente ( ∂ / ∂ t = 0 );

- escoamento horizontal ( z 1 = z 2 );

- escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2   e ρ = 1000   k g / m 3 );

- α ≈ 1,0 ;

- Q = 1,25   L / s ;

- D 1 = 25   m m ;

- D 2 = 50   m m .

Passo 2

Usando a Equação de Energia, em J/kg, entre as seções 1 e 2:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l m

p 2 ρ - p 1 ρ = α V 1 2 2 - α V 2 2 2 + g z 1 - g z 2 - h l m

p 2 - p 1 = ρ α V 1 2 - V 2 2 2 + ρ g ( z 1 - z 2 ) - ρ h l m

Sabendo a expressão de h l m , que z 1 = z 2 e α ≈ 1 :

p 2 - p 1 = ρ V 1 2 - V 2 2 2 - ρ K V 1 2 2

Passo 3

Conehcendo a vazão do escoamento, é possível escrever as velocidades em função da vazão:

Q = V × A

Então na seção 1:

V 1 = Q π D 1 2 4 =   4 Q π D 1 2

Na seção 2:

V 2 = Q π D 2 2 4 = 4 Q π D 2 2

Passo 4

Reescrevendo a expressão de p 2 com as expressões de V 1 e V 2 :

p 2 - p 1 = ρ 4 Q π D 1 2 2 - 4 Q π D 2 2 2 2 - ρ K 4 Q π D 1 2 2 2

p 2 - p 1 = 16 ρ Q 2 2 π 2 - 1 D 2 4 + 1 - K D 1 4

p 2 - p 1 = 8 ρ Q 2 π 2 - 1 D 2 4 + 1 - K D 1 4

Passo 5

Sabendo que a relação de áreas A 1 / A 2 é dada por:

A 1 A 2 = π D 1 2 4 π D 2 2 4 = D 1 2 D 2 2

A 1 A 2 = 25 × 10 - 3 2 50 × 10 - 3 2 = 0,25

Então pela Figura 8.14 e conhecendo A 1 / A 2 = 0,25 o coeficiente de perda para a expansão vale:

K ≅ 0,55

Passo 6

Calculando p 2 - p 1 a partir dos dados conhecidos:

p 2 - p 1 = 8 × 1000 × 1,25 × 10 - 3 2 π 2 - 1 50 × 10 - 3 4 + 1 - 0,55 25 × 10 - 3 4

Então, o aumento de pressão p 2 - p 1 vale:

p 2 - p 1 ≅ 1,26   k P a

Passo 7

No caso de um escoamento sem atrito é possível afirmar que:

K = 0

Logo o aumento de pressão para essa situação é:

p 2 - p 1 = 8 × 1000 × 1,25 × 10 - 3 2 π 2 - 1 50 × 10 - 3 4 + 1 - 0 25 × 10 - 3 4

p 2 - p 1 ≅ 3,04   k P a

Passo 8

Considerando o aumento de pressão com o efeito de atrito e sem o efeito de atrito tem-se que:

p 2 - p 1 c o m   a t r i t o p 2 - p 1 s e m   a t r i t o = 1,26 3,04

p 2 - p 1 c o m   a t r i t o p 2 - p 1 s e m   a t r i t o ≅ 41   %

Lofo, pode-se afrimar que o aumento de pressão na situação com atritoé 41% do valor obtido na situação sem o efeito de atrito.

Resposta

p 2 - p 1 c o m   a t r i t o ≅ 1,26   k P a

p 2 - p 1 s e m   a t r i t o ≅ 3,04   k P a

p 2 - p 1 c o m   a t r i t o p 2 - p 1 s e m   a t r i t o ≅ 41   %

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