Enunciado

Água em um tanque de 40 L deve ser aquecida a partir de 15 °C até 45 °C por um aquecedor esférico de 6 cm de diâmetro cuja temperatura da superfície é mantida a 85 °C. Determine por quanto tempo o aquecedor deve ser mantido ligado.

Passo 1

Vamos lá! É sempre importante começarmos pela colocação das nossas hipóteses do problema! Nesta questão temos uma operação de convecção natural, em regime permanente, não consideraremos os efeitos da radiação e a temperatura do aquecedor é constante.

A ideia por trás da questão é a seguinte: a água, que está a uma temperatura menor que a esfera, irá aquecer ao passar do tempo. Portanto, após a esfera ceder calor a uma determinada taxa média, a água irá aquecer até 45 °C.

Vamos começar determinando a temperatura média da água, aquela que utilizaremos para conseguir as propriedades da água e a temperatura do filme. Logo,

T ∞ = T 2 + T 1 2 = 45 + 15 2 = 30   ° C

Portanto, a obtendo a densidade e calor específico da água a 30 °C através da tabela A-9, sabemos que, para que haja o aumento de 30 °C ela deve absorver:

Q = m c p Δ T = ρ V c p Δ T

Q = 996 ⋅ 0,04 ⋅ 4178 ⋅ 45 - 15 = 4,99 ⋅ 10 6   J

Passo 2

Agora, precisamos determinar o fluxo de calor devido a ação da convecção

E para isto, precisamos determiner o coeficiente h . Começando pelo cálculo do número de Rayleigh, temos:

R a L = g β T s - T ∞ L c 3 ν 2 P r = g T s - T ∞ L c 3 T f ⋅ ν 2 P r

Em relação a obtenção da viscosidade e o número de Prandt, iremos obter através da tabela A-9 ao utilizarmos a temperatura do filme. Esta temperatura é dada por T f = 85 + 30 / 2 = 57,5   ° C através da tabela A-15, temos:

R a L = 9,81 ⋅ 85 - 30 ⋅ 0,06 3 57,5 + 273 ⋅ 0.493 ⋅ 10 - 6 2 ⋅ 3,12 = 4,53 ⋅ 10 10

Percebam que a temperatura T f utilizada no β tem que estar em Kelvin!

Lá na tabela 9-1, na parte de esfera, temos a seguinte relação:

N u = h L c k = 2 + 0,589 ⋅ R a 1 / 4 1 + 0,469 P r 9 / 16 4 / 9

Portanto, o coeficiente h é:

h = k L c ⋅ 2 + 0,589 ⋅ R a 1 / 4 1 + 0,469 P r 9 / 16 4 / 9

h = 0 , 6515 0,06 ⋅ 2 + 0,589 ⋅ 4,53 ⋅ 10 10 1 / 4 1 + 0,469 3,12 9 / 16 4 / 9

h = 2608,6   W / m 2 ⋅ K

Novamente, percebam que a condutividade térmica da água foi obtida da tabela A-15.

Calculando então a taxa de transferência, temos:

Q ˙ c o n v = h A T s - T ∞ = h π D 2 T s - T ∞ =

Q ˙ c o n v = 2608,6 ⋅ π ⋅ 0,06 2 ⋅ 85 - 30 = 1622,6   W

Passo 3

Por fim, o tempo necessário para aquecer a água é:

Δ t = Q Q ˙ = 4,99 ⋅ 10 6 1622,6 = 3075,3   s = 0,854   h

Resposta

É necessária 0,854 hora.

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