Enunciado

Uma aleta anular com espessura t é usada como um radiador para dissipar calor de um sistema de potência espacial. A aleta tem sua parte inferior termicamente isolada e pode estar exposta à irradiação solar GS. A aleta está revestida com um material difuso espectralmente seletivo, cuja refletividade espectral é especificada.

O calor é conduzido para a aleta através de um bastão sólido de raio ri e a superfície superior da aleta (superfície exposta) irradia para o espaço livre, que pode ser considerado a uma temperatura igual ao zero absoluto.

  1. Se a condução através do bastão mantém uma temperatura na base da aleta de T(ri) = Tb = 400 K e a eficiência da aleta é de 100%, qual é a taxa de dissipação de calor em uma aleta com raio re = 0,5 m? Considere dois casos. No primeiro, o radiador está exposto ao Sol com GS = 1000 W/m2 ; e no segundo não há exposição do radiador (GS = 0).
  2. Na prática, a eficiência da aleta será inferior a 100% e sua temperatura irá diminuir com o aumento do raio. Partindo de um volume de controle apropriado, deduza a equação diferencial que determine a distribuição radial de temperaturas na aleta em condições de regime estacionário. Especifique as condições de contorno apropriadas.

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão aí juntos! Temos duas letrinhas para responder...

Mas antes de tudo vamos começar anotando nossos dados, ok?

G S ,   1 = 1000   W / m ² G S ,   2 = 0   W / m ² T r i = T b = 400   K

r e = 0,5   m

Agora sim! Vamos para as continhas!

Passo 2

Começando pela letra a, precisamos encontrar a taxa de dissipação de calor, nos dois casos dados… Vamos lá!

Podemos usar a seguinte equação para calcular ela:

q d i s = ε   .   E b T b - α S   .   G S   .   π   .   r e 2

Lembrando que:

E b T b = σ   .   T b 4

Vamos ter:

q d i s = ε   .   σ   .   T b 4 - α S   .   G S   .   π   .   r e 2

Show! Agora só falta a gente encontrar o valor de α S , para o primeiro caso, vamos fazer o seguinte:

α S = α 1   .   F 0 → 2   μ m   +   α 2   .   1 -   F 0 → 2   μ m

Para encontrar o F 0 → 2   μ m , vamos fazer assim:

λ   .   T = 2   .   5800

λ   .   T = 11600   μ m . K

Visitando a tabela 12.2, vamos ter que:

F 0 → 2   μ m = 0,941

Agora sim! Voltando na equação, teremos:

α S = 0,2   .   0,941   +   0,9   .   1 -   0,941

α S = 0,241

Agora para o segundo caso nosso F 0 → 2   μ m , será diferente, pois a T = T b , ficando assim:

λ   .   T = 2   .   400

λ   .   T = 800   μ m . K

Indo lá na tabela 12.2:

F 0 → 2   μ m = 0

Teremos então:

α S = 0,2   .   0   +   0,9   .   1 -   0

α S = 0,9 = ε

Passo 3

Agora vamos calcular as duas taxa de dissipação, vamos ter:

q d i s ,   s e m   s o l = 0,9   .   5,67   .   10 - 8   .   400 4 - 0,9   .   0   .   π   .   0,5 ²

q d i s ,   s e m   s o l = 1026   W

Na segunda situação vamos ter que a taxa de dissipação será:

q d i s ,   c o m   s o l = q d i s ,   s e m   s o l   -   α S   .   G S   .   π   .   r e 2  

q d i s ,   c o m   s o l = 1026   -   0,241   .   1000   .   π   .   0,5 ²

q d i s ,   c o m   s o l = 837   W

Prontinhos! Agora partiu letra b!

Passo 4

Agora na letra b, vamos encontrar a distribuição radial de temperaturas na aleta… Para isso vamos fazer um balanço de energia:

E e n t - E s a i = 0

q r + α S   .   G S   .   2   .   π   .   r   .   d r - q r + d r - E 2   .   π   .   r   .   d r = 0

E sendo:

q r =   - k   .   d T d r   .   2   .   π   .   r   .   t q r + d r =   q r +   d q r d r   .   d r

Vamos ficar com o seguinte:

- k   .   d T d r   .   2   .   π   .   r   .   t   + α S   .   G S   .   2   .   π   .   r   .   d r - - k   .   d T d r   .   2   .   π   .   r   .   t +   d q r d r   .   d r - E 2   .   π   .   r   .   d r = 0

α S   .   G S   .   2   .   π   .   r   .   d r - d - k   .   d T d r   .   2   .   π   .   r   .   t d r - E 2   .   π   .   r   .   d r = 0

2   .   π   .   r   .   t   .   k   .   d ² T d r ² + 2   .   π   .   t   .   k   .   d T d r + α S   .   G S   .   2   .   π   .   r - E 2   .   π   .   r   = 0

k   .   t d ² T d r ²   +   1 r   .   d T d r + α S   .   G S - ε   .   σ   .   T 4 = 0

Conseguimos! Arrasamos!!

Resposta

  1. q d i s ,   s e m   s o l = 1026   W q d i s ,   c o m   s o l = 837   W .
  2. Passo 4.
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