Enunciado

Um anemômetro de conchas usa duas semiesferas ocas de 5 cm de diâmetro conectadas a barras de 15 cm, como na Figura P7.91. O arrasto nas barras é desprezível, e o rolamento central tem um torque resistente de 0,004 N.m. Levantando hipóteses simplificadoras para uma média da geometria variável com o tempo, calcule e plote a variação da taxa de rotação do anemômetro Ω com a velocidade do vento U na faixa de 0

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos um anemômetro formado por duas barras de comprimento L = 15   c m cada e duas semiesferas de diâmetro D = 5   c m , e umângulo de rotação Ω como mostra a figura que ilustra a questão.

Segundo o enunciado, o arrasto nas barras é desprezível e o sistema tem um torque de M = 0,004   N ∙ m . O vento tem velocidade variando na faixa 0 < U < 25   m / s .

O enunciado então nos pede pra plotar um gráfico de U , na faixa dada pelo enunciado, e Ω . Pra isso, teremos que deduzir uma expressão matemática para o balanço de momento entre as duas semiesferas do anemômetro.

Mas antes da gente ir pro Passo 2, vamos lembrar que para o ar à temperatura ambiente, a massa específica será ρ a r = 1,2 k g m 3 e a viscosidade será μ a r = 1,8 \ 10 - 5 P a ∙ s .

Então vem comigo pra gente resolver esse problema juntos!

Passo 2

Nosso primeiro passo será encontrar uma expressão para o torque M .

Pra isso, vamos considerar o esquema abaixo:

Como vocês podem ver, temos um ângulo de varredura θ entre a barra e o eixo horizontal. Dessa maneira, componente da velocidade U cos ⁡ θ da velocidade U agindo nas duas semiesferas.

Além disso, também temos a velocidade devido à rotação da barra agindo nas semiesferas que é leva em conta a velocidade angular e o raio R da esfera, ou seja Ω R .

Sendo assim, podemos fazer um balanço de momento, considerando R a linha de ação da força de arrasto das semiesferas:

M = R C A 1 ρ 2 V R 1 2 - C A 2 ρ 2 V R 2 2  

Os coeficientes de arrasto podem ser encontrados na Tabela 7.3, Página 495. , como na imagem:

Ou seja, C A 1 = 1,4 e C A 2 = 0,4 .

Além disso, devemos calcular as velocidades relativas V R 1 e V R 2 . Pra isso, devemos fazer um balanço entre as velocidades Ω R e Ucos ⁡ θ , levando em consideração os sentidos delas.

Na primeira delas, as velocidades estão no mesmo sentido, e, portanto, V R 1 = Ucos ⁡ θ - Ω R . Na segunda, as velocidades têm sentido diferente, e, portanto,   V R 2 = Ucos ⁡ θ + Ω R .

Substituindo no nosso balanço:

M = R C A 1 ρ 2 Ucos ⁡ θ - Ω R ² - C A 2 ρ 2 Ucos ⁡ θ + Ω R ²

Passo 3

Por fim, pra resolver a questão, devemos plotar um gráfico de U , na faixa dada pelo enunciado, e Ω .

Pra fazer uma simplificação, devemos considerar que o torque médio de M = 0,004   N ∙ m se repete cada ângulo de 90 ° . Dessa maneira, definimos que a média de cos ⁡ θ variando de 0 a 90 ° , é 2 π = 0,64 .

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O gráfico plotado foi

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