Enunciado

Um balão de hélio deve elevar uma carga a uma altitude de 40 km, onde a pressão e a temperatura atmosféricas são respectivamente 3,0 mbar e –25ºC. O material do balão é poliéster com densidade relativa de 1,28 e espessura de 0,015 mm. Para manter uma forma esférica, o balão é pressurizado até uma pressão manométrica de 0,45 mbar. Determine o diâmetro máximo do balão, se a tensão máxima admissível no tecido está limitada a 62 MN/m2. Que carga pode ser transportada?

Passo 1

Temos aqui um balão pressurizado que deve ser projetado para elevar uma carga útil de massa M a uma altitude de 40   k m , onde p = 3,0   m b a r e T = - 25   °   C . A pele do balão tem uma gravidade específica de 1,28 e espessura de 0,015   m m . A pressão manométrica é de 0,45   m b a r . A tensão de tração permitida no balão é de 62   M N m 2 .

Assim, vamos encontrar o diâmetro máximo do balão e a massa máxima da carga útil. Para isso, aplicaremos as equações hidrostáticas neste sistema:

F = ρ g V d   (a força de empuxo é igual à massa de fluido deslocado)

p = ρ R T (Equação de estado ideal dos gases)

Faremos as seguintes considerações: fluido estático e incompressível, equilíbrio estático a 40   k m de altitude, e comportamento ideal do gás.

Passo 2

O diâmetro do balão é limitado pela tensão elástica permitido na pele:

∑ F = π D 2 4   ∆ p - π D t σ = 0  

Resolvendo esta expressão para o diâmetro:

D = 4 t σ ∆ p

= 4 × 0,015 × 10 - 3 × 62 × 10 6 N m 2 × 1 0,45 × 10 - 3   b a r × b a r   m 2 10 5 N

D = 82,6   m

Para encontrar a carga útil máxima permitida, fazemos a relação entre as forças segundo o diagrama:

∑ F = F - m H e g - m b g - m g = 0

ρ a g V b - ρ H e g V b - ρ p g V p - m g = 0

Isolando para m :

m = ρ a - ρ H e V b - ρ p V p

Sabendo que o volume do balão é: V b = π D 3 6 . O volume da pele é: V p = π D 2 t . Então:

m = π 6 ρ a - ρ H e D 3 - π ρ p D 2 t

A densidade do ar é: ρ a r = p a R a T

ρ a r = 3 × 10 - 3 b a r ×         K g × K 287   N / m × 1 248 K × 10 5 N b a r   m 2 = 4,21 × 10 - 3 k g m 3  

E a do Hélio:

ρ H e = p R T = 6,69 × 10 - 4 k g m 3

Então a massa é:

m = π 6 4,21 × 10 - 3   - 6,69 × 10 - 4 82,6 3 - π × 1,28 k g m 3 × 10 3 × 82,6 2 × 0,0015 × 10 - 3 m

m = 633,34   k g

Prontinho!!

Resposta

m = 633,34   k g

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