Enunciado

Um bloco retangular de massa m , com faces verticais, sobre uma superfície horizontal entre dois jatos opostos, conforme mostrado. Em t = 0 , O bloco é posto em movimento com velocidade u 0 . Em seguida, ele move-se sem atrito paralelamente aos eixos dos jatos com velocidade u ( t ) . Despreze a massa de líquido aderente ao bloco em comparação com m . Obtenha expressões gerais para a aceleração do bloco, a ( t ) , e para sua velocidade, u ( t ) .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V 1 = v - u   e   V 2 = v + u ) ;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema e não a resistência, então, F B x = F S x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- a x ⋅ m = u 1 - ρ V 1 A + u 2 ρ V 2 A + u 3 ⋅ m 3 ˙ + u 4 ⋅ m 4 ˙

u 1 = v - u ;

u 2 = - ( v + u ) ;

u 3 = 0 ;

u 4 = 0 .

A expressão de aceleração se dá:

- a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A + u 3 ⋅ m 3 ˙ + u 4 ⋅ m 4 ˙

- a x ⋅ m = ρ A [ - v - u 2 + v + u 2 ]

- a x ⋅ m = 4 u v ρ A

Passo 4

Substituindo a r x = d u d t :

- d u d t ⋅ m = 4 u v ρ A

d u u = ^ - 4 v ρ A m   d t

∫ u 0 u d u u = - ∫ 0 t 4 v ρ A m   d t

Integrando obtemos a expressão para velocidade do bloco:

ln ⁡ u u 0 = - 4 v ρ A m t

u t = u o e - 4 v ρ A m t

Passo 5

Para aceleração, temos:

a ( t ) = d u d t

Então:

a ( t ) = d d t u o e - 4 v ρ A m t

Derivando, obtemos a expressão para aceleração do bloco:

a t = - 4 v ρ A m ⋅ u o e - 4 v ρ A m t

Resposta

u t = u o e - 4 v ρ A m t

a t = - 4 v ρ A m ⋅ u o e - 4 v ρ A m t

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