Enunciado

Água, proveniente de um bocal estacionário, atinge uma pá fixa sobre um carrinho. O ângulo da pá é θ = 120 ° . O carrinho afasta-se do bocal com velocidade constante u = 10   m / s à medida que a pá recebe o jato de água com velocidade v = 30   m / s . O bocal tem uma área de saída de 0,004   m 2 . Determine a força que deve ser aplicada sobre o carrinho de modo a manter a sua velocidade constante.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u );
  4. Escoamento Uniforme.

Passo 2

Pelas considerações feitas no Passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x y , temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

F S y + F B y = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema, então F B x = F B y = 0 :

F S x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

F S y = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

F S y = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Sendo que:

F S x y z = R x y z

Então:

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

R y = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Passo 3

Para o eixo x :

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

R x = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

Onde:

u 1 = v - u ;

u 2 = v - u cos ⁡ θ .

Então:

R x = - ρ v - u 2 A + ρ v - u 2 cos ⁡ θ A

R x = ρ v - u 2 A ( cos ⁡ θ - 1 )

Sendo:

ρ á g u a = 1000   k g / m 3 ;

v = 30   m / s ;

u = 10   m / s ;

θ = 120 ° ;

A = 0,004   m 2 .

Temos:

R x = 1000 ⋅ 30 - 10 2 ⋅ 0,004 ⋅ cos ⁡ 120 ° - 1 = - 2400   N

Passo 4

Para o eixo y :

R y = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

R y = v 1 - ρ V A + v 2 ρ V A

Aqui, v 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já v 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

Onde:

v 1 = 0 ;

v 2 = v - u sen ⁡ θ .

Então:

R y = 0 + ρ v - u 2 sen ⁡ θ A

R y = ρ v - u 2 sen ⁡ θ A

Sendo:

ρ á g u a = 1000   k g / m 3 ;

v = 30   m / s ;

u = 10   m / s ;

θ = 120 ° ;

A = 0,004   m 2 .

Temos:

R y = 1000 ⋅ 30 - 10 2 ⋅ 0,004 ⋅ s e n   120 ° = 1386   N

Resposta

R x = - 2400   N e   R y = 1386   N

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