Enunciado

O bocal da esquerda tem uma área de 30 cm² e lança um jato com velocidade de 10 m/s contra a pá. O sistema está em equilíbrio. Qual é a vazão do segundo bocal e qual é a velocidade do jato se a área do bocal é 10 cm²? (O fluido é água com γ = 10 4   N / m 3 .)

Passo 1

Vamos começar o exercício analisando o bocal da esquerda e a força que o fluido aplica sobre o anteparo, a equação para a força exercida pelo fluido é dada por:

F → s = - p 1 A 1 n → 1 + p 2 A 2 n → 2 + Q m v → 2 - v → 1

Vamos aplicar a equação na direção x ( → ) :

F s x = - 0 A e - 1 + 0 A e cos ⁡ 60 ° + Q m v 2 cos ⁡ 60 ° - v 1 → F s x e = Q m e v 1 - v 2 cos ⁡ 60 °

Como a vazão é constante e o diâmetro do jato também, então temos v 1 = v 2 = v e , e podemos escrever a vazão mássica do bocal da esquerda como:

Q m e = ρ Q e = ρ v e A e

Substituindo essa expressão na equação para a força, temos:

F s x e = ρ v e A e v e - v e cos ⁡ 60 ° → F s x e = ρ v e 2 A e ( 1 - cos ⁡ 60 ° )

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma análise, só que para o bocal da esquerda.

F → s = - p 3 A 3 n → 3 + p 4 A 4 n → 4 + Q m v → 4 - v → 3

Vamos aplicar a equação na direção x ( → ) :

F s x = - 0 A d 1 + 0 A d cos ⁡ 60 ° + Q m v 4 cos ⁡ 60 ° - ( - v 3 )

F s x d = Q m d v 3 + v 4 cos ⁡ 60 °

Como a vazão é constante e o diâmetro do jato também, então temos v 3 = v 4 = v d , e podemos escrever a vazão mássica do bocal da direita como:

Q m d = ρ Q d = ρ v d A d

Substituindo essa expressão na equação para a força, temos:

F s x d = ρ v d A d v d + v d cos ⁡ 60 ° → F s x d = ρ v d 2 A d 1 + cos ⁡ 60 °

Passo 3

Como o enunciado nos disse que o sistema está em equilíbrio, então as forças da esquerda e da direita devem ser iguais, igualando as expressões encontradas, temos:

F s x e = F s x d → ρ v e 2 A e 1 - cos ⁡ 60 ° = ρ v d 2 A d 1 + cos ⁡ 60 °

Substituindo os valores conhecidos, temos:

1000 10 2 30.10 - 4 1 - 1 2 = 1000 v d 2 10.10 - 4 1 + 1 2 → v d = 10   m / s

Agora podemos finalmente encontrar o valor da vazão volumétrica do bocal da direita:

Q = v d A d = 10 10.10 - 4 → Q = 0,01   m 3 / s

Resposta

v d = 10   m / s

Q = 0,01   m 3 / s

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