Enunciado

O bocal da figura descarrega 40   L / s de um fluido de v = 10 - 4   m 2 / s e γ = 8000   N / m 3 no canal de seção retangular. Determinar:

  1. a velocidade média do fluido no canal;
  2. o mínimo diâmetro da seção 1 para que o escoamento seja laminar;
  3. a perda de carga de 1 a 2 no bocal, quando o diâmetro é o do item b , supondo P 1 = 0,3   M P a ;
  4. a velocidade máxima no canal, se o diagrama é do tipo v = a y 2 + b y + c , com d v / d y = 0 na superfície do canal (vide figura).

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A velocidade média do fluido é dada pela seguinte relação de vazão:

Q = v c a n a l b L

v c a n a l = Q b L

Substituindo os valores, temos que:

v c a n a l = 40 ⋅ 10 - 3 0,2 ⋅ 0,4

v c a n a l = 0,5   m / s

Passo 2

Para encontrarmos um diâmetro mínimo da seção, precisamos reorganizar equações, de tal forma que o número de Reynolds é dado por:

R e 1 = v 1 D 1 v

E a velocidade do escoamento por:

v 1 = 4 Q π D 1 2

Manipulando as equações chega-se em:

R e 1 = 4 Q π D 1 2 ⋅ D 1 v

R e 1 = 4 Q π D 1 v

Isolando o diâmetro e substituindo as variáveis:

D 1 = 4 Q π v R e 1

Substituindo os valores, temos que:

D 1 = 4 ⋅ 40 ⋅ 10 - 3 π ⋅ 10 - 4 ⋅ 2000

D 1 = 0,255   m

Passo 3

Para o item c temos que conhecer as velocidades no ponto ( 1 ) e ( 2 ) . Temos que:

v 1 = 4 Q π D 1 2

v 1 = 4 ⋅ 40 ⋅ 10 - 3 π ⋅ 0,255 2

v 1 = 0,78   m / s

Já a velocidade no ponto 2 :

v 2 = 4 Q π D 2 2

v 2 = 4 ⋅ 40 ⋅ 10 - 3 π ⋅ 0 , 0 5 2

v 2 = 20,4   m / s

Agora, aplicando Bernoulli, temos que:

v 1 2 2 g + P 1 γ + z 1 = v 2 2 2 g + P 2 γ + z 2 + H p 1,2

A perda de carga entre os pontos 1 e 2 é dada por:

H p 1,2 = v 1 2 - v 2 2 2 g + P 1 γ

Substituindo os valores, temos que:

H p 1,2 = 0,78 2 - 20,4 2 2 0 + 0,3 ⋅ 10 - 6 8000

H p 1,2 = 16,7   m

Passo 4

Do enunciado, temos que:

v = a y 2 + b y + c

Em y = 0 , temos que a velocidade é nula, logo c = 0 .

Para y = 0,2   m a velocidade é considerada a máxima, logo:

v m á x = 0,2 2 a + 0,2 b

Temos também que, quando y = 0,2 :

d v d y = 0

Logo:

0 = 2 a y + b

Relacionando as equações, temos que:

a = - 25 v m á x

E:

b = 10 v m á x

Portanto a função da velocidade é dada por:

v = - 25 v m á x y 2 + 10 v m á x y

Passo 5

Podemos integrar na relação de velocidade média:

v m = 1 b L ∫ 0 h - 25 v m á x y 2 + 10 v m á x y L d y

Reorganizando, temos que:

v m = v m á x h ∫ 0 h - 25 y 2 + 10 y d y

Resolvendo, encontramos:

v m = v m á x h - 25 h 3 3 + 10 h 2 2

Logo:

v m = v m á x 0,667

Portanto, a velocidade máxima será:

v m á x = 0,5 0,667

v m á x = 0,75   m / s

Resposta

a )   v c a n a l = 0,5   m / s

b ) D 1 = 0,255   m

c )   H p 1,2 = 16,7   m

d ) v m á x = 0,75   m / s

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