Enunciado

Um bocal para um fluido incompressível e invíscido, com massa específica ρ = 1000 kg/m3, consiste em uma seção de tubo convergente. Na entrada, o diâmetro é De = 100 mm e, na saída, o diâmetro é Ds = 20 mm. O comprimento do difusor é L = 500 mm e o diâmetro decresce linearmente com a distância x ao longo do bocal. Deduza e trace um gráfico da aceleração de uma partícula fluida considerando escoamento uniforme em cada seção, se a velocidade na entrada for Ve = 1 m/s. Trace um gráfico do gradiente de pressão ao longo do bocal e determine seu valor máximo absoluto. Qual deve ser o comprimento do bocal de modo que o gradiente de pressão não ultrapasse 5 MPa/m em valor absoluto?

Passo 1

Pessoal, este é um problema de escoamento unidirecional que pede a aceleração e gradiente de pressão. Para começar, vamos aplicar a equação da aceleração 5.11a:

a x = D u D t = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Assumindo que:

  1. regime permanente
  2. fluido incompressível
  3. fluxo uniforme pela seção
  4. g x = 0
  5. Velocidades de escoamento em y e em z são nulas.

A equação simplifica para:

a x = u ∂ u ∂ x

Passo 2

A equação do da vazão é dada por:

Q = V ∙ A

A velocidade do fluido na entrada é dada V e , então podemos escrever a vazão como:

Q = V e ∙ A e

O enunciado fala que o diâmetro do tubo varia linearmente de D e = 0,25 m   p a r a   D s = 0,75 m ao longo de L = 1 m .

Podemos escrever o diâmetro matematicamente a área em função da distância x:

D ( x ) = D e - D e - D s L x

A vazão pode ser representada na forma geral por:

Q = V ( x ) ∙ A

Onde:

A = π D x 2 4

A = π D e - D e - D s L x 2 4

Relacionando as equações de vazão, temos:

Q = V e ∙ A e =   V ( x ) ∙ A

V e ∙ π D e 2 4 =   V x ∙ π D e - D e - D s L x 2 4

V x = V e D e 2 D e - D e - D s L x 2

Passo 3

No passo 1 encontramos a expressão da aceleração.

a x = u ∂ u ∂ x

Substituindo o valor de u encontrado no passo 2:

a x = V e D e 2 D e - D e - D s L x 2 ∂ V e D e 2 D e - D e - D s L x 2 ∂ x

Vamos trabalhar na derivada:

∂ V e D e 2 D e - D e - D s L x 2 ∂ x = V e D e 2 ∂ V e 1 D e - D e - D s L x 2 ∂ x

Vamos fazer a substituição:

t = D e - D e - D s L x

d t = - D e - D s L d x

Então:

d D e - D e - D s L x - 2 d x = - D e - D s L d t - 2 d t = - D e - D s L - 2 t - 3

= - D e - D s L - 2 t - 3

Voltando com os valores originais:

- D e - D s L - 2 t - 3 = 2 D e - D s L 1 D e - D e - D s L x 3

= 2 L 2 ( D e - D s ) L D e - D e - D s x 3

Jogando na expressão toda:

a x = V e D e 2 D e - D e - D s L x 2 V e D e 2 2 L 2 ( D e - D s ) L D e - D e - D s x 3

a x = V e L 2 D e 2 L D e - D e - D s x 2 V e D e 2 2 L 2 ( D e - D s ) L D e - D e - D s x 3

a x = 2 L 4 V e 2 D e 4 ( D e - D s ) L D e - D e - D s x 5

Como:

ρ = 1000 k g m 3 ;     V e = 5 m s ;           D e = 0,25 m ;     D s = 0,75 m ;         L = 1 m

a x = 2 1 4 5 2 ( 0 , 25 4 ) ( 0,25 - 0,75 ) 1 0,25 - 0,25 - 0,75 x 5

a x = - 0,09765 0,25 + 0,5 x 5

a x = - 976 , 5 ∙ 10 6 25 + 50 x 5

Passo 4

Para encontrar o gradiente de pressão vamos usar a equação de Euler 6.2a do livro:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t = ρ g x - ∂ p ∂ x

Pela equação da aceleração do Passo 1, podemos simplificar a expressão acima:

ρ a x = ρ g x - ∂ p ∂ x

ρ a x = - ∂ p ∂ x

O gradiente de pressão é dado então por:

∂ p ∂ x = - ρ 2 L 4 V e 2 D e 4 ( D e - D s ) L D e - D e - D s x 5

Como:

ρ = 1000 k g m 3 ;     V e = 1 m s ;           D e = 100 m m ;     D s = 20 m m ;         L = 500 m m

∂ p ∂ x = - 1 2 1 4 5 2 ( 0,25 4 ) ( 0,25 - 0,75 ) 1 0,25 - 0,25 - 0,75 x 5

∂ p ∂ x = - - 0,09765 0,25 + 0,5 x 5

∂ p ∂ x = 976 , 5 ∙ 10 6 25 + 50 x 5

Para a pressão de entrada:

∂ p ∂ x e = 100 k P a m

Valor máximo absoluto.

Para a pressão de saída:

∂ p ∂ x s = 0,411 k P a m

Passo 5

O enunciado pede o comprimento do bocal para que o gradiente de pressão não ultrapasse 25kPa/m em valor absoluto. Então:

∂ p ∂ x = ρ 2 L 4 V e 2 D e 4 ( D e - D s ) L D e - D e - D s x 5 < 25

A pressão é maior quando x = 0 , então:

2 L 4 5 2 ( 0,2 5 4 ) ( 0,25 - 0,75 ) L 0,25 5 < 25

25 L 4 0,25 L 5 < 25

100 L < 25

L > 4   m

Passo 6

Vamos agora plotar os gráficos pedidos no exercício.

Aceleração:

a x = - 976 , 5 ∙ 10 6 25 + 50 x 5

Gradiente de pressão:

∂ p ∂ x = 976,5 ∙ 10 6 25 + 50 x 5

Resposta

a x = - 976,5 ∙ 10 6 25 + 50 x 5

∂ p ∂ x = 976,5 ∙ 10 6 25 + 50 x 5

∂ p ∂ x m a x = 100 k P a m

L > 4   m

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