Enunciado

Um bocal de perfil aerodinâmico, com o diâmetro de saída d = 20   m m , está acoplado a um tubo reto por meio de flanges. Água escoa no tubo de diâmetro D = 50   m m , e o bocal a descarrega para a atmosfera. Para escoamento em regime permanente e desprezando efeitos de viscosidade, determine a vazão em volume no tubo correspondente a uma força axial calculada de 45,5 N necessária para manter o bocal fixo no tubo.

Passo 1

Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da continuidade, como temos regime permanente e escoamento uniforme, tudo o que entra no bocal tem que sair na sua seção de descarga, dessa forma, as vazões são iguais nos pontos de entrada (1) e saída (2), de forma que podemos escrever:

Q 1 = Q 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2 → v 1 π D 1 2 4 = v 2 π D 2 2 4 → v 2 = v 1 D 1 D 2 2

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a entrada do bocal (1) e sua saída (2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse exercício podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 , e como a seção 2 descarrega para a atmosfera, temos p 2 = p a t m = 0 e dessa forma a pressão p 1 obtida será a pressão manométrica. Substituindo os valores conhecidos, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 = v 2 2 2

Substituindo a relação encontrada para v 2 nessa equação, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 = v 1 D 1 D 2 2 2 2 → p 1 ρ + v 1 2 2 = v 1 2 2 D 1 D 2 4

Isolando p 1 dessa equação, temos:

p 1 ρ = v 1 2 2 D 1 D 2 4 - v 1 2 2 → p 1 = ρ v 1 2 2 D 1 D 2 4 - 1

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação 4.18a de equilíbrio de momento na direção x , que é dada por:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

No nosso caso, estamos com um regime permanente, então podemos desprezar a primeira integral com a derivada no tempo, vamos desprezar também a ação da força de campo na direção x , de modo que F B x = 0 , então a equação se torna:

R x + p 1 A 1 = u 1 - ρ v 1 A 1 + u 2 ( ρ v 2 A 2 )

Devido a continuidade, sabemos que:

ρ v 1 A 1 = ρ v 2 A 2

Então, reescrevendo a equação anterior:

R x + p 1 A 1 = - ρ u 1 v 1 A 1 + ρ u 2 v 1 A 1

E, nós sabemos que u 1 é a velocidade de entrada v 1 e u 2 é a velocidade de saída v 2 , então, substituindo esses valores, temos:

R x + p 1 A 1 = - ρ v 1 2 A 1 + ρ v 1 v 2 A 1 → R x + p 1 A 1 = ρ v 1 A 1 ( v 2 - v 1 )

Passo 3

Agora vamos pegar a relação encontrada para p 1 no passo e substituir na última equação do passo 2:

R x + p 1 A 1 = ρ v 1 A 1 ( v 2 - v 1 )

R x + ρ v 1 2 2 D 1 D 2 4 - 1 π D 1 2 4 = ρ v 1 π D 1 2 4 v 2 - v 1

Agora precisamos manipular a equação para isolar v 1 :

R x + ρ v 1 2 2 D 1 D 2 4 - 1 π D 1 2 4 = ρ v 1 2 π D 1 2 4 v 2 v 1 - 1

No entanto, do passo 1, sabemos que:

v 2 v 1 = D 1 D 2 2

Substituindo essa expressão na equação anterior:

R x + ρ v 1 2 2 D 1 D 2 4 - 1 π D 1 2 4 = ρ v 1 2 π D 1 2 4 D 1 D 2 2 - 1

R x = ρ v 1 2 π D 1 2 4 D 1 D 2 2 - 1 - ρ v 1 2 2 D 1 D 2 4 - 1 π D 1 2 4

Substituindo os valores conhecidos (lembrando que a reação R x tem mesma magnitude e sentido oposto à força que é aplicada ao bocal para o manter em equilíbrio) , temos:

- 45,5 = 999 v 1 2 π 0,05 2 4 0,05 0,02 2 - 1 - 999 v 1 2 2 0,05 0,02 4 - 1 π 0,05 2 4

- 45,5 = 1,96 v 1 2 5,25 - 499,5 v 1 2 38,06 1,96.10 - 3

E o valor de v 1 será:

v 1 = 1,3   m / s

E, agora podemos encontrar a vazão através de:

Q = v 1 A 1 = v 1 π D 1 2 4 = 1,3 π 0,05 2 4 → Q = 2,55.10 - 3   m 3 / s

Resposta

Q = 2,55.10 - 3   m 3 / s

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