Enunciado

Um bocal está acoplado na ponta de uma mangueira de incêndio com diâmetro interno D = 75   m m . O bocal é de perfil liso e tem diâmetro de saída d = 25   m m . O bocal foi projetado para operar com uma pressão de ága na entrada de 700 kPa (manométrica.) Determine a vazão volumétrica de projeto do bocal. (Expresse a resposta em L/s.) Avalie a força axial necessária para manter o bocal imóvel. Indique se o acoplamento da mangueira está sob tração ou compressão.

Passo 1

Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da continuidade, como temos regime permanente e escoamento uniforme, tudo o que entra no bocal tem que sair na sua seção de descarga, dessa forma, as vazões são iguais nos pontos de entrada (1) e saída (2), de forma que podemos escrever:

Q 1 = Q 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2 → v 1 π D 1 2 4 = v 2 π D 2 2 4 → v 1 = v 2 D 2 D 1 2

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a entrada do bocal (1) e sua saída (2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse exercício podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 , e como a seção 2 descarrega para a atmosfera, temos p 2 = p a t m = 0 e dessa forma a pressão p 1 obtida será a pressão manométrica. Substituindo os valores conhecidos, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 = v 2 2 2

Substituindo a relação encontrada para v 1 nessa equação, temos:

p 1 ρ + v 2 D 2 D 1 2 2 2 = v 2 2 2 → p 1 ρ + v 2 2 2 D 2 D 1 4 = v 2 2 2

Isolando v 2 dessa equação, temos:

p 1 ρ = v 2 2 2 - v 2 2 2 D 2 D 1 4 → p 1 ρ = v 2 2 2 1 - D 2 D 1 4

v 2 = 2 p 1 ρ 1 - D 2 D 1 4

Passo 2

Substituindo os valores conhecidos na última equação do passo 1, temos:

v 2 = 2 p 1 ρ 1 - D 2 D 1 4 = 2 700.10 3 999 1 - 0,025 0,075 4 → v 2 = 37,7   m / s

E, da relação de velocidades do passo 1, temos:

v 1 = v 2 D 2 D 1 2 = 37,7 0,025 0,075 2 → v 1 = 4,19   m / s

Com isso podemos encontrar a vazão do sistema:

Q = v 2 A 2 = v 2 π D 2 2 4 = 37,7 π 0,025 2 4 → Q = 0,0185   m 3 / s → Q = 18,5   L / s

Passo 3

Agora vamos aplicar a equação 4.18a de equilíbrio de momento na direção x , que é dada por:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

No nosso caso, estamos com um regime permanente, então podemos desprezar a primeira integral com a derivada no tempo, vamos desprezar também a ação da força de campo na direção x , de modo que F B x = 0 , e como estamos trabalhando com pressão manométrica e na seção 2 temos p a t m , não teremos força de superfície em 2. Então a equação se torna:

R x + p 1 A 1 = u 1 - ρ v 1 A 1 + u 2 ( ρ v 2 A 2 )

Devido a continuidade, sabemos que:

ρ v 1 A 1 = ρ v 2 A 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2 = Q

Então, reescrevendo a equação anterior sabendo também que u 1 é a velocidade de entrada v 1 e u 2 é a velocidade de saída v 2 , então:

R x + p 1 π D 1 2 4 = - ρ v 1 v 1 A 1 + ρ v 2 v 2 A 2

R x + p 1 π D 1 2 4 = - ρ Q v 1 + ρ Q v 2

R x = ρ Q v 2 - v 1 - p 1 π D 1 2 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

R x = 999 0,0185 37,7 - 4,19 - 700.10 3 π 0,075 2 4 → R x = - 2473,2   N

Essa é a força que o bocal exerce no fluido, então a força que o fluido exerce no bocal possui mesma intensidade e sentido oposto, dessa forma, o bocal está sob tensão.

Resposta

Q = 18,5   L / s

R x = + 2473,2   N

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