Enunciado

Uma câmara cilíndrica de um reator nuclear de leito de partículas tem comprimento L = 10 m e diâmetro D = 3 m. A câmara abriga um leito composto por partículas esféricas de óxido de urânio com um núcleo de diâmetro Dp = 50 mm. Cada partícula gera energia térmica em seu núcleo a uma taxa Ėg e é coberta com uma camada de grafite, que não gera energia, e tem uma espessura uniforme δ = 5 mm. O óxido de urânio e o grafite possuem ambos uma condutividade térmica de 2 W/(m · K). O leito recheado possui uma porosidade ε = 0,40. Hélio pressurizado a 40 bar é usado para absorver a energia térmica das partículas. O hélio entra no leito recheado a Tent = 450°C com uma velocidade de 3,2 m/s. As propriedades do hélio podem ser consideradas como cp = 5193 J/(kg · K), k = 0,3355 W/(m · K), ρ = 2,1676 kg/m3 , μ = 4,214 × 10 −5 kg/(s · m) e Pr = 0,654.

  1. Para uma taxa de transferência de energia térmica global desejada de q = 125 MW, determine a temperatura média do hélio que deixa o leito, Tsai, e a quantidade de energia térmica gerada em cada partícula, Ėg.
  2. A quantidade de energia gerada pelo combustível diminui se uma temperatura de operação máxima de aproximadamente 2100°C for ultrapassada. Determine a temperatura interna máxima da partícula mais quente no leito. Para números de Reynolds na faixa de 4000 ≤ ReD ≤ 10.000, a Equação 7.81 pode ser substituída por C = 2,876 ReD −1 + 0,3023 ReD −0,35 .

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão! Nosso enunciado quer saber algumas informações importantes a taxa de transferência de energia térmica, a temperatura média de saída do hélio, a quantidade de energia gerada e temperatura interna máxima da partícula mais quente do leito, show?

Vamos começar pela letra a, ok?

Para achar a temperatura vamos fazer o seguinte:

q = ρ   .   A   .   V   .   c p   .   T s a í d a - T e n t r a d a

T s a í d a = T e n t r a d a + q ρ   .   A   .   V   .   c p

T s a í d a = 450 + 125   .   10 6 2,1676   .   0,3 ²   .   3,2   .   5193

T s a í d a = 941 ° C

Show! Primeira parte da letra a, está ok!

Passo 2

Podemos encontrar a taxa de transferência de energia térmica assim, olha só:

E g = q N

Ops! Precisamos encontrar esse N :

N = 1 - ε   .   π   .   D 2 2   .   L 4 3   .   π   .   D p + 2 . δ 2 3

N = 1 - 0,4   .   3 2 2   .   10 4 3   .   50   .   10 - 3   +   10   .   10 - 3 2 3

N = 375000

Então nosso E g será:

E g = 125   .   10 6 375000

E g = 333   W

Partiu letra b!

Passo 3

Vamos começar encontrando o número de Reynolds, ok?

R e = ρ   .   V   .   ( D p + 2 . δ ) μ

R e = 2,1676   .   3,2   .   ( 50   .   10 - 6   +   10   .   10 - 6 ) 4,214   .   10 - 5

R e = 9876

Agora vamos encontrar o h _ :

h _ = ρ . V . c p ε . P r 2 / 3   .   2,876 R e + 0,3023 R e 0,35

h _ = 2,1676   . 3,2   .   5193 0,4   .   ( 0,654 ) 2 / 3   .   2,876 9876 + 0,3023 ( 9876 ) 0,35

h _ = 1480   W / m ² . K

Agora podemos encontrar a temperatura T s :

T s = T o + E g h _ . π . ( D p + 2 . δ ) ²

T s = 941 + 333 1480 . π . ( 50   .   10 - 3   +   10   .   10 - 3 ) ²

T s = 960,9 ° C

E para achar o T s ,   1 :

T s ,   1 = T s + q . 1 D p / 2 - 1 D p / 2 + δ 4 . π . k

T s ,   1 = 960,9 + 333   .   1 25   .   10 - 3 - 1 25   .   10 - 3   +   5   .   10 - 3 4 . π . 2

T s ,   1 = 1049,2   ° C

Passo 4

Vamos encontrar a temperatura máxima usando a equação de calor:

d d r r ²   .   d T d r =   - q _ k   .   r ²

r ²   .   d T d r =   - q _ 3 k   .   r ³ + C 1

T ( r ) =   - q _ 6 k   .   r ² - C 1 r + C 2

Precisamos encontrar essas constantes, então vamos usar nossas condições de contorno:

r = 0 , d T d r | r = o = 0 →         C 1 = 0

r = r p = D p 2 , T ( r p ) = T s ,   1 →         C 2 = T s ,   1 + q _ 6 k .   r p ²

Vamos ter então que:

T ( r ) = T s ,   1 + q _ 6 k   .   r p ² - r ²

T ( 0 ) = T s ,   1 + q _ . D p ² 24 . k

Precisamos encontrar esse q _ aí, beleza?

q _ = E g 4 3   .   π   .   D p / 2 ³

q _ = 333 4 3   .   π   .   50   .   10 - 3 / 2 ³

q _ = 5,09   .   10 6   W / m ³

E por fim teremos:

T ( 0 ) = 1049,2 + 5,09   .   10 6 . ( 50   .   10 - 3 ) ² 24.2

T ( 0 ) = 1314 ° C

Uhull! Deu certo! Conseguimos!

Resposta

  1. T s a í d a = 941 ° C E g = 333   W
  2. T ( 0 ) = 1314 ° C
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