Enunciado

O caminho livre médio de um gás, l , é definido como a distância média percorrida por moléculas entre colisões. Uma fórmula proposta para calcular l de um gás ideal é

l = 1,26 μ ρ R T

Quais são as dimensões da constante 1,26? Use a fórmula para calcular o caminho livre médio do ar a 20   ° C e 7   k P a . Você consideraria o ar rarefeito nessa condição?

Passo 1

Para encontrarmos as dimensões da constante, precisamos ver o que falta do lado direito da equação em relação ao lado esquerdo. Como l tem dimensão de comprimento L então se no lado direito tiver algo a mais que comprimento, será por causa da constante e aí já saberemos qual é a dimensão dela.

Passo 2

Vamos então começar olhando a dimensão de cada letra:

l = L       μ = M L T       R = L 2 T 2 Θ       ρ = M L 3     T = Θ

LEMBRANDO que a dimensão de tempo é T enquanto a dimensão da temperatura T é Θ então cuidado com a confusão!

Passo 3

Então se escrevermos a equação em termos de dimensão fica:

L = 1,26 M L T M L 3 L 2 T 2 Θ Θ

Bom podemos simplificar algumas coisas primeiro, o Θ no denominador dentro da raiz com o outro que também está dentro, assim como o M e o L no numerador e no denominador:

L = 1,26 1 T 1 L 2 L 2 T 2

Como só tem termo ao quadrado na raiz, podemos tirar:

L = 1,26 1 T 1 L 2 L T

E simplificar o que sobrou da raiz:

L = 1,26 1 1 L

L = 1,26 L

Só sobrou o L dos dois lados, o que significa que as unidades de medida das outras grandezas (sem a grandeza da constante) já deixam a equação homogênea. Isso significa que a constante não precisa ter nenhuma unidade adicional para manter a igualdade.

Então a constante é adimensional.

Passo 4

Para responder a segunda pergunta, a gente usa a própria equação dada no enunciado, mas antes precisamos encontrar a densidade do ar pela equação de gases perfeitos:

P = ρ R T

ρ = P R T

Colocando os valores:

ρ = 7000   P a ( 287   m 2 / s 2 ⋅ K ) ( 293   K )

ρ = 0,0832   k g / m 3

Usando a densidade encontrada junto com o valor da viscosidade do ar da Tabela A-2, a equação de l fica:

l = 1,26 1,80 × 10 - 5   N ⋅ s / m 2 0,0832   k g / m 3 ( 287   m 2 / s 2 ⋅ K ) ( 293   K )

E resolvendo tudo:

l = 9,4 × 10 - 7   m

Como é um valor baixo, o gás pode ser considerado um meio contínuo e não rarefeito.

Resposta

A d i m e n s i o n a l

l = 9,4 × 10 - 7   m

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