Enunciado

Para partículas pequenas a baixas velocidades, o primeiro termo na lei do arrasto de Stokes-Oseen, Problema 1.10, é dominante; portanto, F ≈ K V , em que K é uma constante. Suponha que uma partícula de massa m seja obrigada a se mover horizontalmente da posição inicial x = 0 com velocidade inicial V 0 . Mostre (a) que sua velocidade decrescerá exponencialmente com o tempo e (b) que ela irá parar após percorrer uma distância x = m V 0 / K .

Passo 1

Na letra (a), o enunciado pede para a gente mostrar que a velocidade da partícula decresce exponencialmente, então vamos precisar encontrar uma equação para a velocidade em função do tempo. Como só temos a equação da força de arraste dada pelo enunciado:

F ≈ K V

Vamos precisar mexer um pouco nela.

Como a partícula se movimento só horizontalmente, dizemos que a velocidade está no sentido de crescimento de x e a aceleração produzida pela força de arraste no sentido oposto:

Isso significa que não precisamos usar notação vetorial, porque todo o movimento está e vai permanecer em x .

Passo 2

Agora podemos usar a segunda lei de Newton para a partícula, como só a força de arraste é que está influenciando o movimento da partícula, ficamos com:

- F = m a

F = - m a

O sinal negativo aparece porque o sentido positivo está no sentido da velocidade, como a força está oposta, o sinal precisa ser negativo.

E podemos substituir ela na equação dada:

- m a ≈ K V

Se reescrevermos a aceleração como a derivada da velocidade em função do tempo, podemos escrever uma equação diferencial:

- m d V d t = K V

- m d V V = K d t

E se resolvermos, vamos ter:

∫ 1 V d V = - K m ∫ d t

m ln ⁡ V / c = - K t

ln ⁡ V / c = - K m t

A constante c que apareceu é por causa da integração indefinida, que pode ser colocada para dentro da função logaritmo.

Aplicando a função exponencial dos dois lados:

V = c e - K m t

O enunciado diz que no início do movimento, t = 0 , a velocidade é V 0 , vamos substituir esses valores na equação:

V 0 = c e - K m ( 0 )

c = V 0

Então a equação fica:

V = V 0 e - K m t

E pronto! Demonstramos que a velocidade cai com a exponencial do tempo.

Passo 3

Para a letra (b) precisamos fazer com a velocidade um processo parecido com aquele que fizemos com a aceleração na letra (a), escrevemos ela como a derivada da posição em função do tempo:

d x d t = V 0 e - K m t

Separamos de novo:

d x = V 0 e - K m t d t

E resolvemos as integrais:

∫ d x = ∫ V 0 e - K m t d t

x + C = - V 0 m K e - K m t

Como pelo enunciado, a partícula sai da posição inicial x = 0 , podemos achar a nova constante:

C = - V 0 m K e - K m 0

C = - V 0 m K

A equação fica:

x = V 0 m K - V 0 m K e - K m t

Tirando fator comum:

x = V 0 m K 1 - e - K m t

Passo 4

Com essa equação podemos mostrar que a partícula para quando percorre a distância:

x = m V 0 K

Basta fazermos t tender a infinito, porque depois de determinado tempo, o arraste da força diminui a velocidade até zerar ela, e como não tem mais movimento, não tem mais arraste também e ela fica parada no ponto m V 0 K :

lim t → ∞ ⁡ x = lim t → ∞ ⁡ V 0 m K 1 - e - K m t = m V 0 K

Resposta

a   V = V 0 e - K m t

b   x = m V 0 K

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