Enunciado

O carrinho mostrado rola com resistência desprezível. Ele deve acelerar para a direita a uma taxa constante de 2,5   m / s 2 . Isso deverá ser realizado pela “programação” da velocidade do jato de água, v ( t ) , que atinge o carrinho. A área do jato permanece constante em 50   m m 2 . Encontre a velocidade inicial do jato, e a velocidade jato e as velocidades do carrinho depois de 2,5   s e 5   s . Teoricamente, o que acontece com o valor ( v - u ) ao longo do tempo?

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme;
  5. Resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema e não a resistência, então, F B x = F S x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

u 1 = ( v - u ) ;

u 2 = - v - u ⋅ s e n   θ .

Então:

- a x ⋅ m = v - u ⋅ - ρ v - u A + - v - u ⋅ s e n   θ ⋅ ρ v - u A

a x ⋅ m = v - u 2 ⋅ ρ A ⋅ ( s e n   θ + 1 )  

Passo 4

Encontrando a velocidade inicial do jato:

Sendo:

m = 5   k g ;

a x = 2,5   m / s 2 ;

A = 50   m m 2 ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

θ = 30 ° ;

u = 0   m / s ;

Temos:

2,5 ⋅ 5 = v 0 - 0 2 ⋅ 1000 ⋅ 50 x 10 - 6 ⋅ ( s e n   30 ° + 1 )  

v 0 = 12,91   m / s

Passo 5

Encontrando e a velocidade jato depois de 2,5   s e 5   s .

Como a aceleração deve ser constante, temos que:

a x = d u d t = 2,5

d u = 2 , 5   d t

∫ 0 u d u = ∫ 0 t 2,5 d t

u = 2,5 ⋅ t

Para t = 2,5   s , temos:

u = 2,5 ⋅ 2,5 = 6,25   m / s

Para t = 5   s , temos:

u = 2,5 ⋅ 5 = 12 , 5   m / s

Passo 6

Encontrando as velocidades do carrinho depois de 2,5   s e 5   s .

Apenas substituiremos u = 2,5 ⋅ t   na equação obtida no Passo 3:

a x ⋅ m = v - 2,5 ⋅ t 2 ⋅ ρ A ⋅ ( s e n   θ + 1 )  

Para t = 2,5   s , temos:

2,5 ⋅ 5 = v - 2,5 ⋅ 2,5 2 ⋅ 1000 ⋅ 50 x 10 - 6 ⋅ s e n   30 ° + 1

v = 19,16   m / s

Para t = 5   s , temos:

2,5 ⋅ 5 = v - 2,5 ⋅ 5 2 ⋅ 1000 ⋅ 50 x 10 - 6 ⋅ s e n   30 ° + 1

v = 25,41   m / s

Passo 7

O valor ( v - u ) ao longo do tempo permanece constante, isso porque v e u são constantes.

Resposta

v 0 = 12,91   m / s

u ( 2,5 ) = 6,25   m / s

u ( 5 ) = 12,5   m / s

v ( 2,5 ) = 19,16   m / s

v ( 5 ) = 25,41   m / s

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