Enunciado

Uma casca esférica de vidro Pyrex têm diâmetros interno e externo de D 1 = 0,1   m e D 2 = 0,2   m , respectivamente. A superfície interna está a T s , 1 = 100 ° C e a superfície externa está a T s , 2 = 45 ° C .

(a) Determine a temperatura no ponto central da espessura da casca T ( r m = 0,075   m ) .

(b) Para as mesmas temperaturas nas superfícies e dimensões da parte (a), mostre como a temperatura no ponto central mudaria se a casca fosse de alumínio.

Passo 1

Vamos começar esquematizando o exercício. Temos uma esfera de vidro Pyrex com temperatura interna T s , 1 = 100 ° C e temperatura externa T s , 2 = 45 ° C . As dimensões da casca esférica são D 1 = 0,1   m e D 2 = 0,2   m . Tendo essas informações, devemos obter a temperatura no meio da casca para este material e, depois avaliar o que acontece se o material da esfera for alumínio.

Para isso, vamos começar calculando a taxa de transferência de calor por condução para uma casca esférica, usando as propriedades do vidro Pyrex. Como a taxa é constante para todas as posições, vamos usá-la para definir a temperatura no ponto central da casca.

Para o item (b), vamos repetir o procedimento usando as propriedades do alumínio. Tudo bem? Vamos lá!

Passo 2

Pela tabela A.3 do apêndice A, a condutividade térmica do vidro Pyrex é k = 1,4   W / m K . A taxa de transferência de calor por condução em uma casca esférica é dada por:

q r = 4 π k T s , 1 - T s , 2 1 r 1 - 1 r 2

Aplicando as temperaturas e dimensões:

q r = 4 π × 1,4 100 - 45 1 0,05 - 1 0,1

q r = 96,76   W

Vamos agora aplicar a equação de taxa de transferência para r m = 0,075   m para obter a temperatura no ponto central.

q r = 4 π k T s , 1 - T s , 2 1 r 1 - 1 r 2

96,76 = 4 π × 1,4 100 - T m 1 0,05 - 1 0,075

96,76 1 0,05 - 1 0,075 4 π × 1,4 = 100 - T m

T m = 100 - 96,76 1 0,05 - 1 0,075 4 π × 1,4

T m = 63,33 ° C

Passo 3

Vamos agora para o item (b). O item (b) também nos pede para determinar a temperatura no ponto central, mas agora considerando que a casca esférica é feita de alumínio. Pala tabela A.1 do apêndice A do livro, a condutividade térmica do alumínio é k = 237   W / m K . Aplicando a equação de taxa de transferência de calor por condução:

q r = 4 π k T s , 1 - T s , 2 1 r 1 - 1 r 2

q r = 4 π × 237 100 - 45 1 0,05 - 1 0,1

q r = 16,4   k W

Vamos agora aplicar a equação de taxa de transferência para r m = 0,075   m para obter a temperatura no ponto central.

q r = 4 π k T s , 1 - T s , 2 1 r 1 - 1 r 2

16,4 × 10 3 = 4 π × 237 100 - T m 1 0,05 - 1 0,075

16,4 × 10 3 1 0,05 - 1 0,075 4 π × 237 = 100 - T m

T m = 100 - 16,4 × 10 3 1 0,05 - 1 0,075 4 π × 237

T m = 63,33 ° C

Ou seja, se as temperaturas das superfícies interna e externa, e as dimensões da casca são mantidas, a temperatura do ponto central não varia, mesmo com a troca do material.

Resposta

(a) T m = 63,33 ° C .

(b) Neste caso, a temperatura do ponto central não muda, independente do material da casca esférica. Então, T m = 63,33 ° C .

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