Enunciado

A cidade de Englewood, no Colorado, é abastecida com água do South Platte River, na elevação de 1610 m [54]. A água é bombeada para reservatórios de armazenagem na elevação de 1620 m. O diâmetro interno da tubulação de aço é 68,5 cm; seu comprimento é 1770 m. A instalação foi projetada para uma capacidade (vazão) inicial de 3200 m³/h e uma capacidade futura de 3900 m³/h. Calcule e trace a curva de resistência do sistema. Especifique um sistema apropriado de bombeamento. Estime a potência de bombeamento requerida para operação em regime permanente, para ambas as vazões, inicial e futura.

Passo 1

Beleza! Vamos começar o exercício aplicando o equilíbrio de energia para o sistema entre O rio South Platte River (ponto 1) e os reservatórios (ponto 2), então, temos:

p 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 + h b = p 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2 + h 1 T

Como sabemos que na entrada temos p 1 = p 2 = p a t m , podemos cancelar os termos de pressão. Sabemos também que podemos considerar V 1 = V 2 = 0 pois o rio e os reservatórios são de grandes dimensões. Dessa forma, a equação se torna:

g z 1 + h b = g z 2 + h 1 T

E, sabemos que a perda de carga, contendo perdas distribuídas e localizadas, pode ser escrita como:

h 1 T = f L V 2 2 D + ∑ f L e V 2 2 D + V 2 2 ∑ K

Passo 2

Agora com essa velocidade, conseguimos encontrar o número de Reynolds, para isso, vamos pegar alguns dados da Tabela A.7 do livro, inclusive uns que usaremos mais tarde:

ρ = 998   k g / m 3 ; ν = 1,01.10 - 6   m 2 / s ; p v = 2,34   k P a

Agora, para encontrar o fator de atrito, precisamos primeiro pegar o dado referente à rugosidade da tubulação, que se encontra na tabela a seguir presente no capítulo 8:

Então, como temos aço comercial, teremos e = 0,046   m m . Então agora podemos usar a equação de Colebrook e descobrir o valor do fator de atrito:

1 f = - 2 log ⁡ e 3,7 D + 2,51 R e f

Passo 3

Agora vamos voltar à equação do equilíbrio de energia do passo 1:

g z 1 + h b = g z 2 + h 1 T

E substituir a expressão encontrada para a perda de carga específica no passo 1:

g z 1 + h b = g z 2 + f L V 2 2 D + ∑ f L e V 2 2 D + V 2 2 ∑ K

Agora precisamos recorrer às tabelas 8.2 e 8.4 e ao diagrama de expansão/contração apresentados no livro para encontrar os coeficientes de perda:

Nesse exercício, não foi mencionada a utilização de nenhum acessório, então temos:

L e D = 0

Não temos nenhuma perda na entrada também, mas vamos considerar uma saída brusca para o sistema, uma vez que a tubulação pequena descarrega em um grande reservatório, dessa forma, temos:

K = 1

Então, agora, substituindo todos os valores conhecidos na equação de energia, temos:

g z 1 + h b = g z 2 + f L V 2 2 D + V 2 2 ∑ K

9,81 1610 + h b = 9,81 1620 + f 1770 V 2 2 0,685 + V 2 2 ( 1 )

Sabemos que a altura de carga específica da bomba pode ser escrita como:

h b = H g

Então, substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

9,81 1610 + H ( 9,81 ) = 9,81 1620 + f 1770 V 2 2 0,685 + V 2 2 ( 1 )

H = 10 + 131,7 f V 2 + 0,5 V 2

Passo 4

Então, será esse gráfico que precisamos plotar, só que em função da vazão. Então, escrevendo a velocidade em função da vazão, temos:

Q = V A → V = Q A = Q π D 2 4 → V = 4 Q π D 2

Substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

H = 10 + 131,7 f 4 Q π D 2 2 + 0,5 4 Q π D 2 2

H = 10 + 131,7 f 4 Q π ( 0,685 ) 2 2 + 0,5 4 Q π 0,685 2 2

H = 10 + 969,7 f Q 2 + 3,68 Q 2

Então como temos o fator de atrito dependendo da vazão, teremos que chutar valores de vazão, calcular a velocidade e depois calcular o valor de atrito para então encontrar o valor de H . Fazendo isso, chegamos no seguinte gráfico:

Passo 5

Para encontrar um sistema apropriado de bombeamento, precisamos converter a vazão para m 3 / m i n , então, temos:

Q = 3200   m 3 / h = 53,33   m 3 / m i n

Dessa forma, para essa vazão e para a altura de carga correspondente encontrada no gráfico, que será:

H = 18   m

Então, com o diagrama de seleção de bombas a seguir, temos:

Podemos ver que uma só bomba não atenderia a vazão encontrada, então, pegando duas bombas 10AE14 (G) em paralelo, atendemos aos requisitos de projeto.

Passo 6

Agora para encontrar a potência de bombeamento nos dois casos, iremos utilizar a equação da potência da bomba, dada por:

W = ρ g Q H η

Para uma eficiência de 90% e as condições:

Q = 3200   m 3 / h = 0,888   m 3 / s

H = 18   m

Temos:

W = 998 9,81 0,888 18 0,9 → W = 174,05   k W

E, para a condição posterior de:

Q = 3900   m 3 / h = 1,08   m 3 / s

H = 24   m

Temos:

W = 998 9,81 1,08 24 0,9 → W = 282,8   k W

Resposta

2   b o m b a s   10 A E 14   G   e m   p a r a l e l o

W = 174,05   k W

W = 282,8   k W

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