Enunciado

A componente x da velocidade em um campo de escoamento bidimensional e incompressível é dada por u = A x 2 ; A = 3,28   m - 1 . s - 1 e as coordenadas são medidas em metros, Não há componente ou variação de velocidade na direção z . Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto x , y = ( 0,3 ; 0,6 ) . Estime o raio de curvatura da linha de corrente que passa por este ponto. Trace a linha de corrente e mostre os vetores de velocidade e aceleração no gráfico. (Considere a forma mais simples da componente da velocidade em y ).

Passo 1

Tá legal! Sabemos que para um escoamento incompressível bidimensional, temos a seguinte relação:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 → ∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x

Então, substituindo a expressão dada para u no enunciado, temos:

∂ v ∂ y = - ∂ ∂ x A x 2 → ∂ v ∂ y = - 2 A x

Integrando dos dois lados em y , temos:

v = ∫ - 2 A x d y → v = - 2 A x y + f ( x )

Então, como o enunciado nos sugeriu para considerar a forma mais simples da componente da velocidade em y , então, faremos:

f x = 0 → v = - 2 A x y

Dessa forma, o vetor velocidade será:

V → = A x 2 i → - 2 A x y j →

Passo 2

Agora, para encontrar a aceleração de uma partícula desse escoamento, temos:

a → = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Então, substituindo o vetor velocidade encontrado no passo 1, temos:

a → = A x 2 ∂ ∂ x A x 2 i → - 2 A x y j → - 2 A x y ∂ ∂ y A x 2 i → - 2 A x y j →

a → = A x 2 2 A x i → - 2 A y j → - 2 A x y 0 i → - 2 A x j → → a → = 2 A 2 x 3 i → + ( 4 A 2 x 2 y - 2 A 2 x 2 y ) j →

a → = 2 A 2 x 2 x i → + y j →

Passo 3

Agora, calculando a velocidade e a aceleração no ponto de interesse (0,3;0,6), temos:

V → 0,3 ; 0,6 = 3,28 0,3 2 i → - 2 3,28 0,3 0,6 j → → V → ( 0,3 ; 0,6 ) = 0,295 i → - 1,18 j →

a → 0,3 ; 0,6 = 2 3,28 2 0,3 2 0,3 i → + 0,6 j → → a → 0,3 ; 0,6 = 0,581 i → + 1,162 j →

Passo 4

Agora, para encontrar o raio de curvatura da linha de corrente, precisamos do valor da aceleração normal e do módulo da velocidade. Então, o vetor normal unitário ao escoamento será:

e → n = e → t × k →

Então, precisamos também do vetor unitário tangencial, que será dado por:

e → t = V → V → = 0,295 i → - 1,18 j → 0,295 2 + - 1,18 2 → e → t = 0,242 i → - 0,97 j →

Então, o vetor normal será:

e → n = 0,242 i → - 0,97 j → × k → → e → n = - 0,97 i → - 0,242 j →

Então, agora, sabemos que a aceleração normal pode ser escrita como:

a n = a →   . e → n = 0,581 i → + 1,162 j → . - 0,97 i → - 0,242 j → → a n = - 0,5636 - 0,281

a n = - 0,845

E, como sabemos que a componente normal da aceleração é dada por:

a n = - V 2 R

Conseguimos encontrar o raio de curvatura substituindo os valores conhecidos:

- 0,845 = - 0,295 2 + - 1,18 2 2 R → R = 1,751   m

Passo 5

Agora, para desenhar a linha de corrente, precisamos da sua equação, então, para isso sabemos que a inclinação da linha de corrente é dada por:

d y d x = v u

Substituindo os valores de v e u , temos:

d y d x = - 2 A x y A x 2 → d y d x = - 2 y x → d y y + 2 d x x = 0

Então, integrando essa expressão, temos:

ln ⁡ y + 2 ln ⁡ x = ln ⁡ c

Pela propriedade dos logarítmos, podemos escrever:

ln ⁡ y + ln ⁡ x 2 = ln ⁡ c → ln ⁡ y x 2 = ln ⁡ c

Aplicando a exponencial dos dois lados para remover o logarítmo, temos:

y x 2 = c

Então, para o ponto (0,3;0,6), a constante c será:

0,6 0,3 2 = c → c = 0,054

E a equação da linha de corrente será:

y x 2 = 0,054

Plotando essa curva, temos:

Resposta

a → 0,3 ; 0,6 = 0,581 i → + 1,162 j →

R = 1,751   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

17. A viscosidade do mel de trevo está listada em função da temperatura na Tabela P10-17. A gravidade específica do mel é aproximadamente 1,42 e não é uma função que dependa fortemente da temperatura.
10. Considere escoamento Poiseuille permanente, incompressível, laminar e totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas horizontais ( os perfis de velocidade e pressão são mostrados na Figura P1
19. Estime a velocidade e o número de Reynolds do esperma mostrado na Figura 10-10. Esse microorganismo está nadando sob condições de escoamento lento? Suponha que ele está nadando em água à temperatu
12. No capitulo 9 (Exemplo 9-15), nós geramos uma solução ‘’exata’’ da equação de Navier-stokes para escoamento Couette totalmente desenvolvido entre duas placas planas horizontais (Figura P10-12), co
18. Para cada caso, calcule um número de Reynolds apropriado e indique se o escoamento pode ser aproximado pelas equações de escoamento lento. (a) Um microorganismo com diâmetro de 5,0 μ m nada na águ