Enunciado

Um cilindro, com 30   m m de diâmetro e 150   m m de comprimento, é aquecido em um grande forno cujas paredes se encontram a 1000   K , enquanto ar a 400   K e a uma velocidade de 3   m / s circula no seu interior. Estime a temperatura do cilindro em regime estacionário nas condições especificadas a seguir.

(a) O escoamento é cruzado ao cilindro e sua superfície é difusa e cinza com uma emissividade de 0,5 .

(b) O escoamento é cruzado ao cilindro, porém sua superfície é espectralmente seletiva com α λ = 0,1 para λ ≤ 3 μ m e α λ = 0,5 para λ > 3   μ m .

(c) A superfície do cilindro está posicionada de tal forma que o escoamento de ar é longitudinal e sua superfície é difusa e cinza.

Passo 1

E aí, tudo bem?

Pronto para resolver essa questão comigo?

Vamos lá então!

Começamos o nosso problema obtendo algumas propriedades do Ar a uma temperatura de filme de aproximadamente 600   K na Tabela A.4:

v = 52,69 × 10 - 6   m 2 / s

k = 46,9 × 10 - 3   W / m ⋅ K

P r = 0,685

Bora para os cálculos!

Passo 2

Letra a)

Aplicando um balanço de energia em nosso sistema:

E e n t - E s a i = E a c u m

Abrindo:

q r a d ' ' - q c o n v ' ' = 0

Assim:

ε σ T v i z 4 - T s 4 - h - T s - T ∞ = 0

Calculando o número de Reynolds:

R e D = V D v = 3 ⋅ ( 30 × 10 - 3 ) 52,69 × 10 - 6 = 1710

R e g i m e   L a m i n a r !

Calculando o número de Nusselt pela correlação de Churchill-Bernstein:

N u - D = 0,3 + 0,62 R e D 1 2 P r 1 3 1 + 0,4 P r 2 3 1 + R e D 282000 5 8 4 5

N u - D = 0,3 + 0,62 ⋅ 1710 1 2 ⋅ 0,685 1 3 1 + 0,4 0,685 2 3 1 + 1710 282000 5 8 4 5

N u - D = 20,8

Calculando o coeficiente convectivo:

h - = N u - D k D = 20,8 ⋅ 46,9 × 10 - 3 30 × 10 - 3 = 32,5   W / m 2 ⋅ K

Substituindo os dados na nossa equação do balando de energia:

ε σ T v i z 4 - T s 4 - h - T s - T ∞ = 0

0,5 ⋅ 5,67 × 10 - 8 ⋅ 1000 4 - T s 4 - 32,5 ⋅ T s - 400 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

T s ≅ 840   K

Passo 3

Letra b)

Para esse segundo caso, nosso balanço de energia tem a seguinte forma:

α G - ε E b T s - q c o n v ' ' = 0

Onde:

G = E b ( T v i z )

α = ∫ 0 ∞ α λ G λ d λ G

Obtendo α :

α = 0,1 ⋅ F 0 → 3   μ m + 0,5 ⋅ 1 - F 0 → 3   μ

Pela Tabela 12.2, com:

λ T = 3 ⋅ 1000 = 3000   μ m ⋅ K

Obtemos:

F 0 → 3   μ m = 0,273

Assim:

α = 0,1 ⋅ 0,273 + 0,5 ⋅ 1 - 0,273

α = 0,391

Supondo que T s seja tal que a emissão na região espectral λ < 3   μ m seja desprezível, o balanço de energia torna-se:

α σ T v i z 4 - ε σ T s 4 - h - T s - T ∞ = 0

0,391 ⋅ 5,67 × 10 - 8 ⋅ 1000 4 - 0,5 ⋅ 5,67 × 10 - 8 ⋅ T s 4 - 32,5 ⋅ T s - 400 = 0

T s ≅ 770   K

Passo 4

Letra c)

Para este último caso, utilizaremos o balanço de energia da letra (a) com as novas condições:

ε σ T v i z 4 - T s 4 - h - T s - T ∞ = 0

Calculando o número de Reynolds:

R e L = V D v = 3 ⋅ ( 15 0 × 10 - 3 ) 52,69 × 10 - 6 = 8540

R e g i m e   T u r b u l e n t o !

Calculando o número de Nusselt:

N u - L = 0,664 R e L 1 2 P r 1 3

N u - L = 0,664 ⋅ 8540 1 2 ⋅ 0,685 1 3

N u - L = 54,1

Calculando o coeficiente convectivo:

h - = N u - L k L = 54,1 ⋅ 46,9 × 10 - 3 150 × 10 - 3 = 16,9   W / m 2 ⋅ K

Substituindo os dados na nossa equação do balando de energia:

ε σ T v i z 4 - T s 4 - h - T s - T ∞ = 0

0,5 ⋅ 5,67 × 10 - 8 ⋅ 1000 4 - T s 4 - 16,9 ⋅ T s - 400 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

T s ≅ 8 5 0   K

E assim a gente finaliza a nossa questão!

Até a próxima!

Resposta

a )   T s ≅ 840   K

b )   T s ≅ 770   K

c )   T s ≅ 850   K

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