Enunciado

Um cilindro circular sólido de raio R gira a uma velocidade angular Ω em um fluido viscoso incompressível que está em repouso distante do cilindro, como mostra a figura abaixo. Adote hipóteses simplificadoras e deduza a equação diferencial governamental e as condições de contorno para o campo de velocidade v θ no fluido. Não resolva a mesma que você esteja obsecado por este problema. Qual é o campo de escoamento permanente para este problema?

Passo 1

E aí, gente!!! Tranquilo? Vamos encarar mais um problema de mecânica dos fluidos com as equações de Navier Stokes?

Bem, o enunciado nos diz que a única componente da velocidade que é importante é a angular, ou seja, apenas a componente que depende do ângulo, em outras palavras v θ . Isso quer dizer que precisamos focar apenas na equação da componente dita, show?

Passo 2

As nossas simplificações feitas de acordo com o enunciado dizem que v z = v r = 0 e que as propriedades não variam com o ângulo, de forma matemática, ∂ ∂ θ = 0 .

Simplificando assim, a nossa equação de Navier-Stokes toma a seguinte forma:

∂ v θ ∂ t = μ ρ 1 r ∂ ∂ r r ∂ v θ ∂ r - v θ r 2

Passo 3

Quais são as condições de contorno desse problema? Bem a gente sabe que nas exterminadas do nosso cilindro, a velocidade ali será exatamente a velocidade de rotação, ou seja,

v θ R ,   t = Ω R

E muito, mas muito longe do cilindro temos que não há nem sequer a influência dessa velocidade de rotação, certo? Então podemos dizer que quando R infinito, temos que a velocidade será zero!

v θ ∞ , t = 0

Resposta

∂ v θ ∂ t = μ ρ 1 r ∂ ∂ r r ∂ v θ ∂ r - v θ r 2

v θ R ,   t = Ω R

v θ ∞ , t = 0

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