Enunciado

Em climas desérticos, a chuva não é ocorrência comum, uma vez que as gotículas de chuva formadas na camada superior da atmosfera, muitas vezes, evaporam antes de chegar ao chão. Considere um pingo de chuva de 5 mm de diâmetro inicialmente a uma temperatura de 5 °C. Determine o tempo em que o diâmetro do pingo de chuva se reduz para 3 mm, quando cai através do ar ambiente a 18 °C com coeficiente de transferência de calor de 400 W/m²K. Pode0-se presumir que a temperatura da água mantém-se constante e uniforme em 5 °C o tempo todo.

Passo 1

Nesse problema, devemos calcular o tempo que leva para uma gota esférica de água reduzir seu diâmetro de 5 para 3 mm.

Devemos então calcular a quantidade de calor que é transferida do ambiente para a gota para que seja evaporada. Ou seja, devemos multiplicar a massa de água evaporada pela entalpia de vaporização da água:

Q = m h v

Além disso, temos que calcular a taxa de calor com que ocorre a evaporação, a partir da Lei do resfriamento de Newton:

Q ˙ = h A s ( T s - T ∞ )

Assim, o tempo pode ser calculado como a razão entre a quantidade e a taxa de calor de água evaporada:

∆ t =   Q Q ˙

Passo 2

Primeiramente, devemos calcular a quantidade de calor cedida para a água em seu processo de evaporação. Para isso, vamos ter que ir na Tabela A-9 (página 878) para buscar a massa específica e a entalpia de vaporização da água a 5 ° C :

T = 5   ° C   → ρ = 999,9   k g / m ³ h v = 2490   k J / k g

Além disso, os raios inicial e final da esfera de água são:

R 1 = 5   m m / 2     = 2,5   m m     = 0,0025   m R 2 = 3   m m / 2     = 1 , 5   m m     = 0,001 5   m

As massas inicial e final de água são, respectivamente:

m 1 =   ρ V 1 = ρ 4 3 π   R 1 3 = ( 999,9   k g / m ³ ) 4 3 π ( 0,0025   m ) ³   = 6,54 x 10 - 5   k g

m 2 =   ρ V 2 = ρ 4 3 π   R 2 3 = ( 999,9   k g / m ³ ) 4 3 π ( 0,001 5   m ) ³   = 1 , 4 1 x 10 - 5   k g

Portanto, a massa que foi evaporada é igual a:

m =   m 1 - m 2 = 6,54 x 10 - 5 - 1,41 x 10 - 5 = 5,13 x 10 - 5   k g    

E, por fim, a quantidade de calor necessária para evaporar a água é de:

Q = m h v   = ( 5,13 x 10 - 5   k g ) ( 2490   k J / k g )   = 0,128   k J = 128   J

Passo 3

Agora devemos calcular a taxa de calor cedida para a água.

Como a esfera não tem uma área superficial constante, devemos calcular uma área superficial média entre as áreas no início e no final do processo:

A - S = A 1 + A 2 2 = 4 π R 1 2 + 4 π R 2 2 2 = 4 π ( ( 0,0025   m ) ² + ( 0,0015   m ) ² ) 2 = 5 , 3 4 x 10 - 5   m ²

Agora podemos calcular a taxa de calor:

Q ˙ = h A - s T s - T ∞ = 400 W m 2 K 5,34 x 10 - 5   m 2 18   ° C - 5   ° C = 0,277   J / s

Resposta

Para calcular o tempo que durou todo o processo de evaporação, devemos fazer:

∆ t =   Q Q ˙ =   128   J   0,277   J / s = 462   s = 7 , 7   m i n

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