Enunciado

Considere uma aleta retangular muito longa fixada a superfície plana, de tal forma que a temperatura na sua ponta seja essencialmente a mesma do ar circundante, ou seja, 20°C. Sua largura é de 5,0 cm; espessura é de 1,0 mm; a condutividade térmica é de 200 W m ·   K   ; e a temperatura base é de 40°C. O coeficiente de transferência de calor é de 20 W m 2 ·   K . Estime a temperatura da aleta a uma distância de 5,0 cm da base e a taxa de perda de calor de toda a aleta.

Passo 1

Animado para começar?

Espero que siiim !!

A primeira coisa aqui é achar a temperatura, certo?

E para isso nós vamos precisar de uma fórmula para uma aleta longa. Bora relembrar??

T x - T a m b T b - T a m b = e - m x

Já temos quase tudo que precisamos:

T a m b = 20 ° C

T b = 40 ° C

x = 5   c m = 0,05   m

Mas e o m?? Nada né ! Só que temos como calcula-lo, basta lembrar que:

m = h p k A c

Para uma aleta retangular já descobrimos que:

A c = w t

p = 2 ( w + t )

Onde w é a largura, não se esqueçam !

Vamos substituir??

m = 2 h ( w + t ) k w t

Então, o problema nos deu tudo que precisamos para calcular o m, agora é só substituir:

m = 2 20 W m 2 ·   K ( 0,05 + 0,001 ) m 200 W m ·   K 0,05   m 0,001   m = 14,28   m - 1

Agora é só colocar tudo na fórmula da temperatura:

T x - 20 ° C 40 ° C - 20 ° C = e - ( 14,28   m - 1 ) ( 0,05   m )

T x = 29,78   ° C

Achamos a primeira resposta, agora vamos seguindo pra segunda!!

Passo 2

Bom, sabemos que a aleta é longa, certo?

Quando é assim a taxa de transferência de calor é dada por:

Q m u i t o   l o n g a ˙ = h p k A c ( T b - T ∞ )

Substituindo a área e o perímetro:

Q m u i t o   l o n g a ˙ = 2 h k w t ( w + t ) ( T b - T ∞ )

Agora é só substituir:

Q m u i t o   l o n g a ˙ = 2 20 W m 2 ·   K 200 W m ·   K 0,05   m 0,001   m 0,05 + 0,001 m ( 40 ° C - 20 ° C )

Q m u i t o   l o n g a ˙ = 2,8566   W

Gostaram?

Resposta

Temperatura em 5cm de aleta: 29,78   ° C ;  

Troca de calor pela aleta: 2,8566   W .

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