Enunciado

Um coletor solar é constituído por um tubo horizontal de alumínio de 5   c m de diâmetro externo, envolto por um tubo de vidro fino concêntrico de 7   c m de diâmetro. A água é aquecida à medida que escoa através do tubo de alumínio, e o espaço anular entre os tubos de alumínio de vidro é cheio com ar a 1   a t m de pressão. A bomba de circulação da água falha durante um dia claro, e a temperatura da água no tubo começa a aumentar. O tubo de alumínio absorve radiação solar a uma taxa de 20   W por metro de comprimento, e a temperatura do ar no ambiente externo é 30   ° C . Aproximando as superfícies do tubo e da cobertura de vidro como sendo pretas (emissividade ε =   1 ) nos cálculos da radiação e considerando a temperatura efetiva do céu de 20   ° C , determine a temperatura do tubo de alumínio quando o equilíbrio está estabelecido (isto é, quando a perda líquida de calor por convecção e por radiação a partir do tubo é igual à quantidade de energia solar absorvida pelo tubo).

Passo 1

Primeiramente devemos encontrar nossa temperatura de filme para pegarmos as propriedades correspondente:

T f = T s + T ∞ 2 = 33 + 30 2 = 31,5   ℃

Portanto as propriedades serão...

k = 0,02599 W m ∙ ℃ ; v = 1,622 × 10 - 5 m 2 s ; P r = 0,7278 ; β = 1 T f = 1 31,5 + 273 K = 0,003284   K - 1

Passo 2

Esse exercício envolve a transferência de calor do tubo de alumínio para a tampa de vidro e da superfície externa da tampa de vidro para o ar ambiente circundante.

Quando uma operação estável é alcançada, essas duas transferências de calor serão iguais à taxa de ganho de calor. Ou seja:

Q ˙ t u b o - v i d r o = Q ˙ v i d r o - a m b i e n t e = Q ˙ g a n h o - s o l a r = 20   W   ( p o r   m e t r o   d e   c o m p r i m e n t o )

Passo 3

Para o cálculo de o Rayleigh, precisamos encontrar nosso comprimento característico. Logo ele será:

L c = D o = 0 , 07   m

Agora usando a formulação para o Rayleigh e assumindo uma temperatura de superfície de T s = 33 ℃ :

R a = g β T s - T ∞ L 3 v 2 P r = 9,81 m s 2 0,003 284   K - 1 33 - 30   K 0 , 07   m 3 1 , 622 × 10 - 5 m 2 s 2 ( 0,72 7 8 )

R a = 91,700

Passo 4

Agora com o Rayleigh podemos encontrar nosso número de Nusselt:

N u = 0 , 6 + 0,387 R a 1 6 1 + 0 , 559 P r 9 16 8 27

N u = 0 , 6 + 0,387 91,700 1 6 1 + 0 , 559 0,72 7 8 9 16 8 27 2 = 7,626

Portanto o coeficiente de transferência de calor será...

h = k D o N u = 0,02 599 W m ∙ ℃ 0 , 07   m 7,626 = 2,832   W m 2 ∙ ℃

Passo 5

Para determinarmos a temperatura do vidro, precisamos antes determinar as taxas de transferência de calor.

Temos que a formulação da taxa de transferência de calor é:

Q ˙ = h A s ( T s - T ∞ )

Onde,

A = π D o L = π 0,07   m 1   m = 0,2199   m 2

Q ˙ = 2,832 W m 2 ∙ ℃ 0 , 2199   m 2 T v i d r o - 30 ℃

A taxa de transferência de calor de radiação é:

Q ˙ r a d = ε A s σ ( T s 4 - T c i r 4 )

Q ˙ r a d = 1 0 , 2199   m 2 5,67 × 10 - 8 W m 2 ∙ K 4 T v i d r o + 273   K 4 - 2 0 + 273   K 4

Passo 6

Logo a soma das duas taxas de transferência de calor resultara na taxa total:

Q ˙ t o t a l = Q ˙ c o n v + Q ˙ r a d

20   W = 2,832 W m 2 ∙ ℃ 0,2199   m 2 T v i d r o - 30 ℃ + 1 0,2199   m 2 5,67 × 10 - 8 W m 2 ∙ K 4 T v i d r o + 273   K 4 - 20 + 273   K 4

O que resultará em:

T v i d r o = 33,34 ℃

Passo 7

Agora vamos calcular a transferência de calor através da camada de ar entre o tubo de alumínio e a tampa de vidro.

Vamos assumir que a temperatura do tubo de alumínio é de 45   °   C e avaliaremos as propriedades na temperatura média. Portanto:

T m é d i a = T i + T o 2 = 45 + 33.34 2 = 39,17 ℃

Logo as propriedades serão:

k = 0,02656   W m ∙ ℃ ; v = 1,694 × 10 - 5 m 2 s ; P r = 0,7257

β = 1 T f = 1 39,17 + 273 K = 0,003203   K - 1

Passo 8

O comprimento característico será a distância entre os dois cilindros:

L c = D o - D i 2 = 7 - 5 2 = 1   c m

A formulação para o número de Rayleigh é dada abaixo:

R a = g β T i - T o L c 3 v 2 P r

R a = 9,81 m s 2 0,003203   K - 1 45 - 33,34   K 0,01   m 3 1,694 × 10 - 5 m 2 s 2 0,7257 = 926,5

Passo 9

Para determinarmos a temperatura do tubo, precisamos antes trabalhar com as taxas de transferência de calor, portanto:

Q ˙ = 2 π k e f ln ⁡ D o D i T 1 - T 2

Porem precisamos encontrar antes a condutividade térmica efetiva:

F = ln ⁡ D o D i   4 L c 3 D i - 3 5 + D 0 - 3 5 5 = ln ⁡ 0,07   m 0,05   m 4 0,01   m 3 0,05   m - 3 5 + 0,07   m - 3 5 5 = 0,08085

k e f = 0,386 k P r 0,861 + P r 1 4 F R a 1 4

k e f = 0,386 0,02 656 W m ∙ ℃ 0,7238 0,861 + 0,72 57 1 4 0 , 08085 926,5 1 4 = 0,0 2480   W m ∙ ℃

Passo 10

Portanto, fazendo as substituições, teremos:

Q ˙ = 2 π 0,0 2480 W m ∙ ℃ ln ⁡ 0,0 7   m 0,05   m T t u b o - 3 3,34 ℃

A taxa de transferência de calor por radiação:

Q ˙ r a d = ε A s σ T s 4 - T c i r 4

Q ˙ r a d = 1 0,1571   m 2 5,67 × 10 - 8 W m 2 ∙ K 4 T t u b o + 273   K 4 - 33,34 + 273   K 4

Passo 11

Logo a soma das duas taxas de transferência de calor resultara na taxa total:

Q ˙ t o t a l = Q ˙ c o n v + Q ˙ r a d

20   W = 2 π 0,02480 W m ∙ ℃ ln ⁡ 0,07   m 0,05   m T t u b o - 33,34 ℃ + 1 0,1571   m 2 5,67 × 10 - 8 W m 2 ∙ K 4 T t u b o + 273   K 4 - 33,34 + 273   K 4

Logo, a temperatura do tubo será:

T t u b o = 46,3   ℃

Resposta

Por fim a temperatura do vidro e do tubo é:

T v i d r o = 33,34 ℃

T t u b o = 46,3   ℃

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