Enunciado

Para as condições do Problema 4.48, estime o tempo requerido para drenar o tanque à profundidade de y = 0,3   m (uma mudança na profundidade de 0,1   m ), e de y = 0,3   m para y = 0,2   m (também uma mudança na profundidade de 0,1   m ). Você pode explicar a discrepância nesses tempos? Trace o gráfico do tempo de drenagem do tanque como função do diâmetro do furo na profundidade y = 0,1   m do tanque variando de d = 2,5   m m para d = 12,5   m m .

Passo 1

Nos foi dado no enunciado anterior que:

D = 50   m m = 0,05   m

d = 5   m m = 0,005   m

V = 2 g h = 2 g y

y 0 = 0,4   m

g = 9,8   m / s 2

Podemos fazer as seguintes considerações:

Fluxo uniforme

Fluxo incompressível

Negligenciar a densidade do ar

Passo 2

Feito as considerações, podemos usar e equação da conservação de massa para o volume de controle.

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

A equação básica se torna

∂ ∂ t ∫ 0 y ρ A t a n q u e d y + ρ V A a b e r t u r a = 0

∂ ∂ t ρ A t a n q u e y = - ρ V A a b e r t u r a

ρ A t a n q u e ∂ ∂ t y = - ρ V A a b e r t u r a

d y d t   = - ρ V A a b e r t u r a ρ A t a n q u e

d y d t   = - V A a b e r t u r a A t a n q u e

Passo 3

Podemos aqui, fazer as seguintes substituições:

A a b e r t u r a = π d 2 4

e

A t a n q u e = π D 2 4

Substituindo na equação encontrada no passo 2 temos:

d y d t   = - V π d 2 4 π D 2 4

d y d t   = - 2 g y d 2 D 2

d y y   = - d 2 2 g D 2 d t

Podemos agora integrar dos dois lados.

∫ y 0 y 1 y d y = ∫ 0 t - d 2 2 g D 2 d t

∫ y 0 y 1 y d y = - d 2 2 g D 2 ∫ 0 t d t

2 y   y 0 y = - d 2 2 g D 2 t   0 t

2 y   - 2 y 0 = - d 2 2 g D 2 t

- 2 D 2 d 2 2 g y   - y 0 = t

t = 2 D 2 d 2 2 g y 0 - y  

Passo 4

Podemos encontrar a função y t , que determina a profundidade no tanque, substituindo os valores fornecido no enunciado na equação encontrada no passo anterior. Assim temos:

t = 2 0,05 2 0,005 2 2 9,8 0,4 - y  

t = 0,022 0,4 - y  

Passo 5

Para calcular os tempos requerido para drenar o tanque, basta usamos a função que encontramos no passo anterior.

Para a profundidade de 0,4   m a 0,3   m :

t = 0,022 0,4 - 0,3  

t = 1,86 × 10 - 3   s = 1,86   m s

Portanto, o tempo de drenagem quando y = 0,3   m é t = 1,86   m s

Para a profundidade de 0,4   m a 0,2   m :

t = 0,022 0,4 - 0,2  

t = 4,08 × 10 - 3   s = 4,08   m s

Quando a profundidade  y = 0,3   m e o tempo gasto são 1,86 milissegundos e quando a profundidade  y = 0,2   m o tempo gasto é 4,08 milissegundos.

A mudança de tempo durante a mudança de profundidade 1 pé é

∆ t = t 2 - t 1

t = 4,08   m s - 1,86   m s = 2,21   m s

Portanto, o tempo de drenagem de y = 0,3   m para y = 0,2   m é t = 2,21   m s .

Assim, à medida que a profundidade diminui, o tempo necessário para a taxa de drenagem aumenta.

Passo 6

Podemos usar a seguinte equação para traçar o gráfico do tempo de drenagem do tanque como função do diâmetro do furo na profundidade y = 0,1   m do tanque variando de d = 2,5   m m para d = 12,5   m m .

t = 2 D 2 d 2 2 g y 0 - y  

Para isso substituímos os valores da seguinte maneira:

t = 2 0,05 2 d 2 2 9,8 0,4 - 0,1    

t = 3,57 × 10 - 4 d 2

Aqui, temos a tabela e o gráfico tempo em função do diâmetro usando o software Microsoft Excel. Usando a equação acima variando o diâmetro do furo no tanque, temos a seguinte tabela:

Resposta

Para a profundidade de 0,4   m a 0,3   m :

t = 1,86   m s

Para a profundidade de 0,3   m a 0,2   m :

t = 2,21   m s

Assim, à medida que a profundidade diminui, o tempo necessário para a taxa de drenagem aumenta.

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