Enunciado

Um tanque cilíndrico de diâmetro D = 50   m m , possui o esgoto por uma abertura de diâmetro d = 5   m m , em seu fundo. A velocidade do líquido saindo do tanque é aproximadamente V = 2 g h , em que y é a altura do fundo do tanque à superfície livre. Se o tanque inicialmente está cheio com água a y 0 = 0,4   m , determine a profundidade da água em t = 60   s , t = 120   s e t = 180   s . Trace o gráfico de y   ( m ) em função de t para os primeiros 180 segundos.

Passo 1

Nos foi dado no enunciado que:

D = 50   m m = 0,05   m

d = 5   m m = 0,005   m

V = 2 g h = 2 g y

y 0 = 0,4   m

g = 9,8   m / s 2

Podemos fazer as seguintes considerações:

Fluxo uniforme

Fluxo incompressível

Negligenciar a densidade do ar

Passo 2

Feito as considerações, podemos usar e equação da conservação de massa para o volume de controle.

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

A equação básica se torna

∂ ∂ t ∫ 0 y ρ A t a n q u e d y + ρ V A a b e r t u r a = 0

∂ ∂ t ρ A t a n q u e y = - ρ V A a b e r t u r a

ρ A t a n q u e ∂ ∂ t y = - ρ V A a b e r t u r a

d y d t   = - ρ V A a b e r t u r a ρ A t a n q u e

d y d t   = - V A a b e r t u r a A t a n q u e

Passo 3

Podemos aqui, fazer as seguintes substituições:

A a b e r t u r a = π d 2 4

e

A t a n q u e = π D 2 4

Substituindo na equação encontrada no passo 2 temos:

d y d t   = - V π d 2 4 π D 2 4

d y d t   = - 2 g y d 2 D 2

d y y   = - d 2 2 g D 2 d t

Podemos agora integrar dos dois lados.

∫ y 0 y 1 y d y = ∫ 0 t - d 2 2 g D 2 d t

∫ y 0 y 1 y d y = - d 2 2 g D 2 ∫ 0 t d t

2 y   y 0 y = - d 2 2 g D 2 t   0 t

2 y   - 2 y 0 = - d 2 2 g D 2 t

2 y   = 2 y 0 - d 2 2 g D 2 t

y   = y 0 - d 2 2 g 2 D 2 t

y = y 0 - d 2 2 g 2 D 2 t 2

Passo 4

Podemos encontrar a função y t , que determina a profundidade no tanque, substituindo os valores fornecido no enunciado na equação encontrada no passo anterior. Assim temos:

y t = 0,4 - 0,005 2 2 9,8 2 0,05 2 t 2

y t = 0,4 - 0,022 t 2

Passo 5

Para calcular da profundidade da água nos tempos desejados, basta usamos a função que encontramos no passo anterior.

Para 60   s :

y 60 = 0,4 - 0,022 × 60 2

y 60 = 0,484   m

Para 12 0   s :

y 60 = 0,4 - 0,022 × 12 0 2

y 12 0 = 4,096   m

Para 1 8 0   s :

y 60 = 0,4 - 0,022 × 1 8 0 2

y 18 0 = 11,236   m

Os resultados não fazem sentido, pois a tanque estaria vazio antes dos 30 segundos. Comparando o livro com a versão em inglês, podemos perceber que os dados fornecidos são totalmente diferente e não fazem sentido.

Passo 6

Aqui, temos a tabela e o gráfico da profundidade da água em função do tempo usando o software Microsoft Excel.

Resposta

y 60 = 0,484   m

y 120 = 4,096   m

y 180 = 11,236   m

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