Enunciado

Condução unidimensional, sem geração de energia e em regime estacionário, está ocorrendo em uma casca cilíndrica com raio interno r 1 e raio externo r 2 . Sob quais condições a distribuição de temperaturas linear mostrada é possível?

Passo 1

Nessa questão, nós temos uma casca cilíndrica em condições de estado estacionário sem geração de energia. Então temos a seguinte imagem:

A partir disso, queremos descobrir sob quais condições é possível uma distribuição linear de temperatura.

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir que estamos em condição de estado estacionário, a condução é unidimensional e não há geração interna de energia. Nas condições indicadas, a equação do calor em coordenadas cilíndricas é:

d d r k r d T d r = 0

Se a distribuição de temperatura é uma função linear de r , então o gradiente de temperatura é constante e essa equação se torna:

d d r k r = 0

O que implica k r   =   c o n s t a n t e ou k   ~   1   /   r . A única maneira de haver uma distribuição linear de temperatura na casca cilíndrica é se a condutividade térmica variar inversamente com r .

Resposta

k   ~   1   /   r

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