Enunciado

Considere um bocal convergente e um bocal convergente-divergente com as mesmas áreas de garganta. Para as mesmas condições de entrada, como você compararia as vazões em massa através desses dois bocais?

Passo 1

O enunciado quer que a gente compare a vazão mássica m ˙ através de dois tipos de bocal diferentes: o bocal convergente e o bocal convergente-divergente. O enunciado supõe que as áreas A das gargantas desses bocais são iguais e que o fluido entra nos dois bocais na mesma condição (mesma pressão, temperatura e velocidade). A figura abaixo mostra esses bocais.

V 1 , T 1 e P 1 são a velocidade, a temperatura e a pressão de entrada do fluido respectivamente. A imagem acima mostra que consideramos a velocidade de entrada do fluido no bocal aproximadamente nula. Substituindo essa informação (de V ≈ 0 ) nas fórmulas de pressão de estagnação P 0 e temperatura de estagnação T 0 , achamos que:

P 0 = P 1 + ρ V 2 2     ⟹     P 0 = P 1 + ρ 0 2 2     ⟹     P 0 = P 1

T 0 = T 1 + V 2 2 ⋅ c p       ⟹       T 0 = T 1 + 0 2 2 ⋅ c p       ⟹       T 0 = T 1

V 2 , T 2 e P 2 são a velocidade, a temperatura e a pressão de saída do fluido respectivamente.

P b é a contrapressão (pressão que o fluido externo na saída do bocal esxerce sobre o escoamento).

No próximo passo vamos entender como comparar essas duas vazões m ˙ .

Passo 2

Para comparar as pressões nós vamos dividir essa análise em duas partes. A primeira parte é quando a contrapressão P b é baixa o suficiente para fazer o escoamento na garganta ficar com M a = 1 e o fluido na garganta se mover a velocidade do som c .

A segunda parte é quando o escoamento na garganta é subsônico M a < 1 e o fluido se move abaixo da velocidade do som c .

No passo seguinte nós vamos analisar a primeira parte.

Passo 3

Quando o escoamento nas gargantas têm M a = 1 e V = c , a vazão mássica vira:

m ˙ = ρ ⋅ V ⋅ A       ⟹       m ˙ = ρ ⋅ c ⋅ A

Como as áreas A são iguais para as duas gargantas e as velocidades do som c também são iguais, as vazões m ˙ através dos bocais são iguais!

Ou seja, quando as contrapressões P b sobre os escoamentos são baixas o suficiente para fazer M a ficar igual a 1 nas gargantas, as vazões mássicas m ˙ através dos dois bocais são iguais.

Passo 4

A segunda parte é quando as pressões P b não são tão baixas para fazer M a ficar igual 1 nas gargantas. Para esse caso, as pressões P 2 na saída dos bocais são iguais a P b , porque o fluido está em equilíbrio com o meio externo.

A imagem abaixo mostra essa situação.

A pressão do fluido P na garganta do bocal convergente-divergente é menor que a pressão P 2 na garganta do bocal convergente, porque a pressão no difusor aumenta. Logo, a pressão P que está na entrada do difusor é maior que a pressão P 2 que está na saída do difusor. Isso faz com que a pressão sobre o fluido na saída do bocal seja menor.

Ou seja, o escoamento no bocal convergente-divergente tem uma pressão P menor resistindo ao escoamento. Logo, a velocidade V do escoamento pela garganta do bocal convergente-divergente é maior que a velocidade V 2 do escoamento pela garganta do bocal convergente. Por causa disso, a vazão mássica m ˙ do bocal convergente-divergente é maior que a vazão mássica m ˙ do bocal convergente.

Resposta

Quando M a = 1 na garganta dos bocais, as vazões mássicas através dos dois bocais são iguais. Quando M a < 1 na garganta dos bocais, a vazão mássica através do bocal convergente-divergente é maior que a vazão mássica m ˙ através do bocal convergente.

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