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Considere um campo de escoamento em regime permanente e bidimensional cuja componente x da velocidade é dada por

u = a + b x - c 2

Onde a ,   b e c são constante com dimensões apropriadas. Com qual forma a componente y da velocidade precisa estar para o campo de escoamento seja incompressível? Em outras palavras, gere uma expressão para v como função de x , y e das constantes da equação dada, de forma que o escoamento seja incompressível.

Passo 1

Para dada expressão para u , nós temos que encontrar a expressão para v para um campo de fluxo incompressível.

Assumindo que o fluxo é constante e que o fluxo opera em duas dimensões x , y .

Temos que para um campo de fluxo incompressível utilizaremos equação da taxa de tensão volumétrica que deve ser igual zero, para esta premissa ser verdadeira.

Passo 2

Seguindo oque foi dito no passo 1, vamos enunciar as equações:

Equação da componente x da velocidade:

u = a + b x - c 2       1

Para que a premissa de que o campo do fluxo tem que incompressível, temos:

1 V D V D t = ε x x + ε y y + ε z z = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como assumimos que o fluxo ira operar penas no plano x , y , temos:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Com isto temos nossa condição para a coordenada da velocidade y .

∂ u ∂ x = - ∂ v ∂ y                 2

Passo 3

Agora para resolvermos basta substituirmos a equação 1 na 2 e resolver para v .

∂ a + b x - c 2 ∂ x = - ∂ v ∂ y

2 b x - c = - ∂ v ∂ y

∂ v ∂ y = - 2 b ( x - c )

Simplificando a equação e isolando, v :

∫ ∂ v ∂ y d y = ∫ - 2 b x - c   d y

v = - 2 b x - c y + G 1

Note que G 1 é a constante arbitraria da integração, pois estamos trabalhando com integral indefinida. Como v é uma função de x e y , portanto temos que G 1 é uma constante de x .

v = - 2 b x - c y + G 1 x

Resposta

v = - 2 b x - c y + G 1 x

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