Enunciado

Considere o campo de escoamento do Problema 4-94 (escoamento sobre um cilindro circular). Considere apenas a metade dianteira do escoamento ( x < 0 ) . Existe um ponto de estagnação na metade dianteira do campo de escoamento. Onde ele está? Dê a resposta em coordenadas cilíndricas r , θ e cartesianas x , y .

Passo 1

Para o campo de velocidade dado temos que encontrar o ponto de estagnação.

Assumindo que o fluxo é constante e que ele opera em duas dimensões no plano r - θ .

Sabemos que o ponto de estagnação ocorre quando as componentes de velocidade são iguais à zero, ou seja, u r = 0 e u θ = 0 .

Retomando as componentes de velocidade do exercício 4-94, temos:

u r = V cos ⁡ θ 1 - a 2 r 2               u θ = - V   s e n   θ 1 + a 2 r 2

Bem para nossa premissa ocorrer temos que:

Em u r :

cos ⁡ θ = 0   o u   r 2 = a 2

E para u θ :

s e n   θ = 0   o u   r 2 = - a 2

Passo 2

Agora que enunciamos nossas condições e possíveis resultados que traria o ponto de estagnação, vamos analisar em que posição angular, θ ,e que raio, r , nós confirmaria nossa condições

Em u r :

cos ⁡ θ = 0   o u   r 2 = a 2

E para u θ :

s e n   θ = 0   o u   r 2 = - a 2

Note que a segunda condição de u θ é impossível, pois r é um número real e não imaginário.

Portanto, única condição de u θ que resta é s e n   θ = 0 , esta condição é verdadeira, pois precisamos que u θ = 0 , oque significa que θ = 0 ° o θ = 180 ° . Vamos lembrar que estamos trabalhando com o fluxo que possui apenas a metade esquerda x < 0 . Deste modo escolheremos θ = 180 ° . Agora vamos olhar para as condições de u r , para θ = 180 ° , cos ⁡ θ = - 1 , oque significa que cos ⁡ θ = 0 não é uma condição verdade e consequentemente r 2 = a 2 é verdadeira. Diante estes fatos, temos que a posição de estagnação é

r = a             θ = - 180 °

Resposta

Note que a segunda condição de u θ é impossível, pois r é um número real e não imaginário.

Portanto, única condição de u θ que resta é s e n   θ = 0 , esta condição é verdadeira pois precisamos que u θ = 0 , oque significa que θ = 0 ° o θ = 180 ° . Vamos lembrar que estamos trabalhando com o fluxo que possui apenas a metade esquerda x < 0 . Deste modo escolheremos θ = 180 ° . Agora vamos olhar para as condições de u r , para θ = 180 ° , cos ⁡ θ = - 1 , oque significa que cos ⁡ θ = 0 não é uma condição verdade e consequentemente r 2 = a 2 é verdadeira. Diante estes fatos, temos que a posição de estagnação é

r = a             θ = - 180 °

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