Enunciado

Considere o campo de escoamento representado pela função potencial φ = x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 - x 2 + y 2 . Verifique se esse é um escoamento incompressível, e determine a função de corrente correspondente.

Passo 1

Vamos verificar se esse escoamento é incompressível, basta a gente testar a equação:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Vamos então encontrar as funções velocidade a partir da função potencial, porque ela a gente já tem, beleza? Show!

Vamos dar uma olhadinha nas equações que nos indicam um escoamento irrotacional:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Bom, então admitindo isso, podemos encontrar as funções velocidade.

u = - ∂ ∂ x ( x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 - x 2 + y 2 ) v = - ∂ ∂ y ( x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 - x 2 + y 2 )

u ( x , y ) = - 5 x 4 + 30 x 2 y 2 - 5 y 4 + 2 x v ( x , y ) = 20 x 3 y - 20 x y 3 - 2 y

Podemos testar agora se o escoamento é incompressível!

Passo 2

Vamos lá!

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ ( - 5 x 4 + 30 x 2 y 2 - 5 y 4 + 2 x ) ∂ x + ∂ ( 20 x 3 y - 20 x y 3 - 2 y ) ∂ y = 0

- 20 x 3 + 60 x y 2 + 2 + 20 x 3 - 60 x y 2 - 2 = 0

Perfeito! Descobrimos que nosso escoamento é incompressível!

Passo 3

Agora partiu encontrar a função de corrente!

Relaxa! Vai ser tranquilo!

Já temos as funções velocidade, então:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

ψ ( x , y ) = ∫ u ( x , y ) d y ψ ( x , y ) = - ∫ v ( x , y ) d x

ψ ( x , y ) = ∫ ( - 5 x 4 + 30 x 2 y 2 - 5 y 4 + 2 x ) d y ψ ( x , y ) = - ∫ ( 20 x 3 y - 20 x y 3 - 2 y ) d x

ψ x , y = - 5 x 4 y + 10 x 2 y 3 - y 5 + 2 x y + f x ψ ( x , y ) = - 5 x 4 y + 10 x 2 y 3 + 2 x y + f ( y )

Resposta

Temos um escoamento é incompressível e sua função de corrente é:

ψ ( x , y ) = - 5 x 4 y + 10 x 2 y 3 + 2 x y - y 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O escoamento plano permanente na Figura P 8.2 tem os componentes de velocidade polares v θ = Ω r e v r = 0 . Determine a circulação Γ sobre o caminho mostrado.
Trace as linhas de corrente do escoamento causado por um vórtice + K em 0 ,+ a e um vórtice – K em 0 ,– a . Qual é o padrão visto de longe?
Um tornado pode ser modelado como o escoamento circulatório mostrado na Figura P 8.14 , com v r = v z = 0 e v θ ( r ) dado por v θ = ω r r ≤ R ω R 2 r rR Determine se esse padrão de escoamento é irrot
Considere o escoamento causado por um vórtice de intensidade K na origem. Calcule a circulação por meio da Equação ( 8.23 ) ao longo de um caminho no sentido horário de r , θ =( a ,0 ) a ( 2 a ,0 ) a
Ar escoa a 1,2m / s ao longo de uma superfície plana, quando encontra um jato de ar emitido de uma parede horizontal no ponto A , como mostra a Figura 8.16 . A vazão do jato é 0,4m 3 / s por unidade d