Enunciado

Considere uma casa com base de 10   m × 20   m e parede de 4m de altura. Todas as quatro paredes da casa têm valores de R de 2,31   m 2 ⋅ ° C / W . Duas paredes de 10   m ×   4   m não têm janelas. A terceira parede tem cinco janelas de vidro ( 0,78   W / m ⋅ K   ) de 0,5 cm de espessura e 1,2 × 1,8   m de tamanho. A quarta parede tem o mesmo tamanho e número de janelas, mas estas são painéis duplos com espaço de ar ( 0,026   W / m ⋅ K   ) estagnado de 1,5 cm de espessura, entre duas camadas de vidro de 0,5 cm de espessura. O termostato da casa é fixado em 24 °C, e a temperatura média externa no local é 8 °C durante os 7 meses da temporada de aquecimento. Ignorando qualquer ganho ou perda de radiação direta através das janelas e considerando os coeficientes de transferência de calor nas superfícies interna e externa da casa iguais a 7 e 18 W / m 2 ⋅ K , respectivamente, determine a taxa média de transferência de calor através de cada parede.

Se a casa for aquecida eletricamente e o preço da eletricidade for US$ 0,08/kWh, determine a quantidade de dinheiro que o proprietário da casa poupará por temporada de aquecimento se converter as janelas de painel único em janelas de painel duplo.

Passo 1

Nosso ponto de partida é colocar as hipóteses do nosso problema. São elas que possibilitam a sua solução!

Portanto, temos um problema de transferência de calor em regime permanente, unidimensional e condutividade térmica constante.

Nosso primeiro passo é calcular a taxa de transferência de calor através de cada parede. Começaremos a partir das duas paredes que não tem janela. Utilizando a analogia de circuitos elétricos, podemos associar o seguinte circuito ao caso desta parede:

Portanto, calculando os valores das resistências térmicas, temos:

R c o n v 1 = 1 h 1 A = 1 7 ⋅ 40 = 0,00357   ° C / W

R p a r e d e = 2,31 40 = 0,05775   ° C / W

R c o n v 2 = 1 h 2 A = 1 18 ⋅ 40 = 0,00138   ° C / W

Portanto, a taxa de transferência de calor através dessas paredes é:

Q ˙ = Δ T R e q u i v a l e n t e = Δ T R c o n v 1 + R p a r e d e + R c o n v 2

Q ˙ = 24 - 8 0,00357 + 0,05775 + 0,00138 = 16 0,0627

Q ˙ = 255,2   W

E assim determinarmos a quantidade de calor perdido pelas paredes sem janela

Passo 2

Agora, repetiremos os cálculos anteriores para o caso da parede com 5 janelas de vidro simples. Podemos representar elas através do seguinte circuito térmico:

Percebam que temos a associação de resistências em série e resistências em paralelo. Agora, temos uma pegadinha nesta questão. A área das duas paredes é diferente da área das paredes calculadas no Passo 1. Percebam que a casa tem uma base 10   m × 20   m . Portanto, a área das paredes com janela é dada por 20 ⋅ 4 = 80   m 2 .

Sendo assim, é necessário recalcularmos as todas as resistências térmicas. Sendo assim,

R c o n v 3 = 1 h 1 A = 1 7 ⋅ 80 = 0,00178   ° C / W

R p a r e d e / j a n = 2,31 ( 80 - 5 ⋅ 1,2 ⋅ 1,8 ) = 2,31 69,2 = 0,03338   ° C / W

R c o n v 4 = 1 h 2 A = 1 18 ⋅ 80 = 0,00069   ° C / W

R v i d r o = L v i d r o k v i d r o A = 0,5 ⋅ 10 - 2 0,78 ⋅ 2,16 = 0,00296   ° C / W

Agora, para resolvermos o nosso circuito elétrico, vamos começar determinando uma resistência térmica equivalente para as 6 resistências em paralelo. Ele é calculado da seguinte forma:

1 R p a r a l e l o = 1 R p a r e d e / j a n + 5 ⋅ 1 R v i d r o

1 R p a r a l e l o = 1 0,03338 + 5 ⋅ 1 0,00296 = 1719,1

R p a r a l e l o = 0,00058   ° C / W  

E com isto resumimos o nosso circuito a três elementos em série ( R c o n v 3 + R p a r a l e l o + R c o n v 4 ) . Sendo assim, a taxa de transferência de calor é dada por:

Q ˙ = Δ T R e q u i v a l e n t e = Δ T R c o n v 3 + R p a r a l e l o + R c o n v 4

Q ˙ = 24 - 8 0,00178 + 0,00058 + 0,00069 = 16 0,00305

Q ˙ = 5245,9   W

Passo 3

Agora, precisamos calcular a taxa de transferência de calor para a parede com janela de duas camadas. Novamente, o circuito elétrico que corresponde a este caso é dado por:

Primeiro, vamos calcular uma resistência térmica equivalente para cada janela ( R v i d r o + R a r + R v i d r o ) . Portanto,

R a r = L a r k a r A = 1,5 ⋅ 10 - 2 0,026 ⋅ 2,16 = 0,26709   ° C / W

R j a n e l a = 2 ⋅ R v i d r o + R a r = 2 ⋅ 0,00296 + 0,26709 = 0,27301   ° C / W  

Agora, vamos transformar as resistências em paralelo em 1 resistência equivalente. Portanto,

1 R p a r a l e l o = 1 R p a r e d e / j a n + 5 ⋅ 1 R j a n e l a

1 R p a r a l e l o = 1 0,03338 + 5 ⋅ 1 0,27301 = 48,27

R p a r a l e l o = 0,02071   ° C / W  

E com isto resumimos o nosso circuito a três elementos em série ( R c o n v 3 + R p a r a l e l o + R c o n v 4 ) . Sendo assim, a taxa de transferência de calor é dada por:

Q ˙ = Δ T R e q u i v a l e n t e = Δ T R c o n v 3 + R p a r a l e l o + R c o n v 4

Q ˙ = 24 - 8 0,00178 + 0,02071 + 0,00069 = 16 0,02318

Q ˙ = 690,3   W

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a economia de energia resultante da troca de uma parede com janela simples para uma com dupla camada. Para isto, é necessário calcular a energia economizada ao realizar esta troca. Portanto:

Q ˙ e c o n o m i z a d o = Q ˙ s i m p l e s - Q ˙ d u p l a   c a m a d a

Q ˙ e c o n o m i z a d o = 5245,9 - 690,3 = 4555,6   W

Agora, vamos determinar o preço economizado no período de 7 meses ao evitarmos a perda de 4555,6 W. Sendo assim, temos:

E c o n o m i a = Q ˙ e c o n o m i z a d o ⋅ Δ t ⋅ C u s t o = 4555,6   W ⋅ 7 ⋅ 30 ⋅ 24   h ⋅ 0,08 1000 U S $ W h

E c o n o m i a = U S $   1836,8

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

A taxa de transferência de calor para as paredes são:

  • Sem janela: Q ˙ = 255,2   W
  • Com janela simples:   Q ˙ = 5245,9   W
  • Com janela de duas camadas: Q ˙ = 690,3   W

O valor economizado após a troca das janelas é:

E c o n o m i a = U S $   1836,8

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