Enunciado

Considere a condução de calor transiente unidimensional em uma parede plana com geração de calor e condutividade térmica variáveis. A rede nodal do meio consiste dos nós 0 , 1 e 2 , com espaçamento nodal uniforme de ∆ x . Usando a abordagem do balanço de energia, obtenha a formulação implícita de diferenças finitas deste problema para o caso de fluxo de calor especificado q ˙ 0 e convecção no contorno esquerdo (nó 0 ) com coeficiente de convecção h , temperatura ambiente de T ∞ , radiação no contorno direito (nó 2 ), com emissividade ε e temperatura do meio ao redor de T c i r .

Passo 1

Primeiramente, podemos assumir algumas condições que nos ajudam a simplificar o problema. São esses:

  • Condutividade térmica e geração de valor variáveis;
  • Transmissão de calor através da parede em regime transitório;
  • Placa com dimensões que permitem desconsiderar a espessura, logo a transmissão de calor é unidimensional;
  • Radiação na superfície esquerda e convecção na superfície direita são desprezíveis.

De posse dessas considerações, parte-se para a análise de como resolver o problema.

Passo 2

Usando-se a abordagem do balanço de energia, como pedido pela questão, e seguindo-se a direção de todas as transferências de calor em direção ao nó em consideração, as formulações implícitas de diferenças finitas se tornam:

No limite do nó esquerdo:

k 0 i + 1 A T 1 i + 1 -   T 0 i + 1 ∆ x +   q ˙ 0 A + h A T ∞ - T 0 i + 1 +   e ˙ 0 i + 1 A ∆ x 2 =   ρ A C p ∆ x 2 T 0 i + 1 -   T 0 i ∆ t

No nó interior:

k 1 i + 1 A T 0 i + 1 -   T 1 i + 1 ∆ x +   k 1 i + 1 A T 2 i + 1 -   T 1 i + 1 ∆ x +   e ˙ 0 i + 1 A ∆ x =   ρ A ∆ x C p T 1 i + 1 -   T 1 i ∆ t

No limite do nó direito:

k 2 i + 1 A T 1 i + 1 -   T 2 i + 1 ∆ x +   ε σ A T c i r i + 1 + 273 4 -   T 2 i + 1 + 273 4 +   e ˙ 2 i + ! A ∆ x 2 =   ρ A C p ∆ x 2 T 2 i + 1 -   T 2 i ∆ t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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