Enunciado

Considere a configuração do jato vertical atingindo o disco vertical conforme mostrado no Problema 4.158 . Suponha que o disco seja largado do repouso a uma altura inicial de 2   m acima do plano de saída do jato. Usando um método numérico, tal como o método de Euler (veja Seção 5.5), resolva para o movimento subsequente do disco. Identifique a altura de regime permanente do disco.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme;
  5. Força de corpo desprezível;
  6. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema y , temos:

F S y + F B y - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não há resistência ne força de campo, então, F S y = F B y = 0 :

- ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Então:

- g ⋅ m - a r ⋅ m = v 1 ( - ρ V A 1 )

Com v 1 = v - u

g ⋅ m + a r ⋅ m = v - u 2 ⋅ ρ A 1

Passo 3

Aplicando a Equação de Bernoulli no sistema, temos:

v 0 2 2 g + P 0 ρ g + z 0 = v 2 2 g + P ρ g + z

Com P 0 = P = P a t m e z 0 = 0 :

v 0 2 2 g + = v 2 2 g + z

v = v 0 2 - 2 g z

Passo 4

Voltando na equação do Passo 2 e substituindo A 1 = v 0 A 0 v :

g ⋅ m + a r ⋅ m = v - u 2 ⋅ ρ ⋅ v 0 A 0 v

Sendo u = d h d t e a r = d 2 h d t 2 , temos:

g ⋅ m + d 2 h d t 2 ⋅ m = v - d h d t 2 ⋅ ρ ⋅ v 0 A 0 v

d 2 h d t 2 = ρ m ⋅ v - d h d t 2 ⋅ v 0 A 0 v - g

Como d h d t = 0 , d 2 h d t 2 = 0 e v = v 0 2 - 2 g z :

0 = ρ m ⋅ v 0 2 - 2 g z - 0 2 ⋅ v 0 A 0 v 0 2 - 2 g z - g

Queremos identificar a altura de regime permanente do disco, então isolaremos z :

g = ρ m ⋅ v 0 A 0 ⋅ v 0 2 - 2 g z - 0 2 v 0 2 - 2 g z = ρ v 0 A 0 ⋅ v 0 2 - 2 g z m

v 0 2 - 2 g z = m g ρ v 0 A 0 2

z = 1 2 g v 0 2 - m g ρ v 0 A 0 2

Sendo:

v 0 = 15   m / s ;

g = 9,8   m / s 2 ;

m = 30   k g ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

A 0 = 0,005   m 2 .

Temos:

z = 1 2 ⋅ 9,8 15 2 - 30 ⋅ 9,8 1000 ⋅ 15 ⋅ 0,005 2 = 10,7   m

Resposta

z = 10,7   m

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