Enunciado

Um cotovelo redutor é usado para defletir o escoamento da água a uma taxa de 30   k g / s em um tubo horizontal para cima de um ângulo θ = 45 ° da direção do escoamento enquanto a acelera. O cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da seção transversal do cotovelo é de 150   c m 2 na entrada e 25   c m 2 na saída. A diferença de elevação entre os centros da saída e da entrada é de 40   c m . A massa do cotovelo e da água que há nele é de 50   k g . Determine a força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar. Tome o fator de correção do fluxo do momento como 1,03 .

Passo 1

O exercício quer que a gente calcule a força F necessária para manter o cotovelo parado. Essa força possui duas componentes: a componente horizontal F x do eixo x e a componente vertical do eixo y . A figura abaixo mostra a linha de corrente central do cotovelo e alguns dados fornecidos pelo enunciado.

A 1 é a área da seção transversal por onde a água entra no cotovelo e A 2 é a área da seção transversal por onde a água sai do cotovelo. P 1 é a pressão manométrica linha de corrente central da entrada do cotovelo e P 2 é a pressão manométrica linha de corrente central da saída do cotovelo. P 2 vale zero, porque é igual à pressão atmosférica.

P 2 = 0   P a

V 1 é a velocidade de entrada da água e V 2 é a velocidade de saída da água. z 2 - z 1 é a diferença de altitude entre a entrada e a saída do cotovelo. m ˙ é a vazão de água através do cotovelo. m é a soma da massa da água dentro do cotovelo com a massa do cotovelo. g é a aceleração da gravidade.

Para encontrar F , precisamos calcular P 1 primeiro. Para fazer isso de forma mais fácil, temos que entender uma informação que o enunciado esconde da gente. Além disso, temos que fazer algumas simplificações. No próximo passo faremos isso.

Passo 2

Quando o enunciado diz que o cotovelo é usado para direcionar o escoamento da água a uma taxa de 30   k g / s , ele quer dizer que a vazão de entrada de água é igual à vazão de saída! Isso é uma forma do enunciado dizer que o escoamento de água está em regime permanente. Essa era a informação escondida do enunciado. Agora vamos ver as simplificações!

Além disso, para diminuir as contas que a gente precisa fazer podemos fazer algumas simplificações. Podemos considerar que a água é incompressível ( ρ constante através do escoamento), sem atrito e irrotacional (vorticidade vale zero em todo o escoamento). Fazendo todas essas simplificações, podemos usar a equação de Bernoulli na linha de corrente central do escoamento de para calcular P 1 .

P 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = P 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2

onde ρ é a densidade da água.

Podemos calcular V 1 e V 2 através da fórmula de vazão.

m ˙ = ρ ⋅ V 1 ⋅ A 1       ⟹       V 1 = m ˙ ρ ⋅ A 1

m ˙ = ρ ⋅ V 2 ⋅ A 2       ⟹       V 2 = m ˙ ρ ⋅ A 2

Substituindo isso na fórmula e lembrando que P 2 é nulo, achamos:

P 1 = ρ V 2 2 2 - ρ V 1 2 2 + ρ g z 2 - z 1       ⟹       P 1 = ρ 2 m ˙ ρ ⋅ A 2 2 - ρ 2 m ˙ ρ ⋅ A 1 2 + ρ g z 2 - z 1

Passo 3

Substituindo os dados na fórmula de P 1 , achamos o valor dessa pressão. No entanto, antes disso precisamos converter z 2 - z 1 de centímetro c m para metro m .

z 2 - z 1 = 40   c m       ⟹       z 2 - z 1 = 0,40   m

Também precisamos considerar que a densidade da água ρ vale 1000   k g / m 3 . Esse é o valor da densidade da água na pressão atmosférica e na temperatura ambiente!

Por último precisamos converter as unidades de A 1 e A 2 de c m 2 para m 2 .

A 1 = 150   c m 2       ⟹       A 1 = 0,015   m 2

A 2 = 25   c m 2       ⟹       A 2 = 0,0025   m 2

P 1 = ρ 2 m ˙ ρ ⋅ A 2 2 - ρ 2 m ˙ ρ ⋅ A 1 2 + ρ g z 2 - z 1

P 1 = 1000 2 ⋅ 30 1000 ⋅ 0,0025 2 - 1000 2 ⋅ 30 1000 ⋅ 0,015 2 + 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0,40

P 1 = 73924   P a

Passo 4

Para calcular as forças F x e F y que são necessárias para manter o cotovelo sem se mover horizontalmente e verticalmente, vamos adaptar a equação 6 - 27 do livro (segunda lei de Newton) para o nosso caso.

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. Esses dois fatores de conversão valem 1,03 segundo o enunciado.

β 1 = β 2 = 1,03

V 1 , x é a velocidade da água no eixo x entrando no cotovelo. V 2 , x é a velocidade da água no eixo x saindo do cotovelo. A velocidade V 2 tem duas componentes. Sua componente horizontal vale:

V 2 , x = V 2 ⋅ cos ⁡ θ       ⟹       V 2 , x = m ˙ ρ ⋅ A 2 ⋅ cos ⁡ θ

Além disso, a velocidade V 1 é horizontal. Logo, sua componente horizontal é igual à V 1 V 1 , x = V 1 .

Substituindo essas informações na fórmula de ∑ F x , encontramos:

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ m ˙ ρ ⋅ A 2 ⋅ cos ⁡ θ - β 2 ⋅ m ˙ ρ ⋅ A 1

∑ F x = m ˙ 2 ⋅ β 2 ρ ⋅ cos ⁡ θ A 2 - 1 A 1

Já as forças do eixo x são apenas a força que a pressão P 1 exerce sobre a entrada do cotovelo e a força F x . Como as duas tem o mesmo sentido (da esqueda pra direita), a força resultante é igual à força da pressão P 1 mais F x . É importante lembrar que a força da pressão P 2 não está incluída, porque a pressão manométrica vale zero.

∑ F x = P 1 ⋅ A 1 + F x

Substituindo isso na equação anterior de ∑ F x , encontramos:

∑ F x = m ˙ 2 ⋅ β 2 ρ ⋅ cos ⁡ θ A 2 - 1 A 1       ⟹       P 1 ⋅ A 1 + F x = m ˙ 2 ⋅ β 2 ρ ⋅ cos ⁡ θ A 2 - 1 A 1

F x = - P 1 ⋅ A 1 + m ˙ 2 ⋅ β 2 ρ ⋅ cos ⁡ θ A 2 - 1 A 1

Passo 5

Para encontrar F y temos que adaptar a equação de ∑ F x .

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , y - β 1 ⋅ V 1 , y

onde ∑ F y é o somatório das forças verticais (no eixo y ) sobre o volume de controle.

V 1 , y é a velocidade da água no eixo y entrando no cotovelo. V 2 , y é a velocidade da água no eixo x saindo do cotovelo. A velocidade V 2 tem duas componentes. Sua componente horizontal vale:

V 2 , x = V 2 ⋅ sen ⁡ θ       ⟹       V 2 , x = m ˙ ρ ⋅ A 2 ⋅ sen ⁡ θ

Além disso, a velocidade V 1 é horizontal. Logo, sua componente vertical vale zero V 1 , y = 0 .

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , y - β 1 ⋅ V 1 , y     ⟹       ∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ m ˙ ρ ⋅ A 2 ⋅ sen ⁡ θ

∑ F y = m ˙ 2 ⋅ β 2 ⋅ sen ⁡ θ ρ ⋅ A 2

Já as forças do eixo y são a força F y e a força peso W que a água e o cotovelo sofrem pela atração da terra. W é igual á massa do cotovelo e da água m multiplicada pela aceleração da gravidade g .

W = m ⋅ g

Como as duas são opostas ( F y pra cima e a força W pra baixo), a força resultante é igual a F y menos a força W .

∑ F y = F y - m ⋅ g

Substituindo isso na equação anterior, encontramos:

∑ F y = m ˙ 2 ⋅ β 2 ⋅ sen ⁡ θ ρ ⋅ A 2       ⟹       F y - m ⋅ g = m ˙ 2 ⋅ β 2 ⋅ sen ⁡ θ ρ ⋅ A 2

F y = m ⋅ g + m ˙ 2 ⋅ β 2 ⋅ sen ⁡ θ ρ ⋅ A 2

Passo 6

Substituindo os dados nas fórmulas de F x e F y somos capazes de encontrar os valores dessas duas componentes da força total F .

F x = - P 1 ⋅ A 1 + m ˙ 2 ⋅ β 2 ρ ⋅ cos ⁡ θ A 2 - 1 A 1

F x = - 73924 ⋅ 0,015 + 30 2 ⋅ 1,03 1000 ⋅ cos ⁡ 45 ° 0,0025 - 1 0,015

F x = - 908   N

F y = m ⋅ g + m ˙ 2 ⋅ β 2 ⋅ sen ⁡ θ ρ ⋅ A 2       ⟹       F y = 50 ⋅ 9,81 + 30 2 ⋅ 1,03 ⋅ sen ⁡ 45 ° 1000 ⋅ 0,0025

F y = 753   N

Para calcular F total, fazemos a soma dos quadrados dos componentes e depois aplicamos a raiz quadrada.

F = F x 2 + F y 2       ⟹       F = - 908 2 + 753 2       ⟹       F = 1180   N

Resposta

F = 1180   N

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