Enunciado

Considere o desenvolvimento de uma camada-limite térmica laminar próxima a entrada do tubo mostrado na Figura 8.4. Quando a camada-limite fluidodinâmica é fina em relação ao diâmetro do tubo, a região de escoamento invíscico tem uma velocidade uniforme que é aproximadamente igual à velocidade média u m . Assim, o desenvolvimento da camada-limite é

similar ao que ocorre em uma placa plana.

  1. Partindo da Equação 7.23, deduza uma expressão para o número de Nusselt local, N u D , como uma função do número de Prandtl, Pr, e do inverso do número de Graetz, G z D - 1 . Represente graficamente a expressão usando as coordenadas mostradas na Figura 8.10a, para Pr = 0,7.
  2. Partindo da Equação 7.30, deduza uma expressão para o número de Nusselt médio, N u D - , como uma função do número de Prandtl, Pr, e do inverso do número de Graetz, G z D - 1 . Compare os seus resultados com o número de Nusselt para comprimento de entrada combinada no limite de pequenos x.

Passo 1

Boom galerinhaa, vamos continuar ?!

Na letra (a) nos foi pedido para usar a Equação 7.23 e deduzir uma expressão para o número de Nusselt local, N u D , como uma função do número de Prandtl, Pr, e do inverso do número de Graetz, G z D - 1 .

Relembrando a equação 7.23:

N u x = h x k = 0,332 R e x 1 2   P r 1 3

Para transformar N u x em N u D nós vamos ter que multiplicar ambos os lados por D x :

N u D = h D k = 0,332 R e x 1 2   P r 1 3 D x

E lembrando que:

R e D x D = R e x

Então:

N u D = 0,332 R e D x D 1 2   P r 1 3 D x

N u D = 0,332 R e D D x 1 2   P r 1 3

Agora nós vamos ter que lançar mão de alguns artifícios matemáticos:

P r 1 3 = P r 1 2 . P r - 1 6

Vamos substituir?

N u D = 0,332 R e D D x 1 2   P r 1 2 . P r - 1 6

N u D = 0,332 R e D . P r . D x 1 2   . P r - 1 6

Olha que legal!!

Sabendo que:

G z - 1 = x R e D . P r . D

Em função de G z - 1 :

N u D = 0,332 G z - 1 - 1 2   . P r - 1 6

Passo 2

A letra (a) ainda não acabou, certo? Queremos saber o número de Nusselt quando P r = 0,7 e quando G z - 1 varia conforme a figura 8.10ª, ou seja, de 0,001 até 1.

Vamos obter os seguintes valores:

Colocando no gráfico:

Passo 3

Na letra (b) nos foi pedido para usar a Equação 7.30 e deduzir uma expressão para o número de Nusselt médio, N u D - , como uma função do número de Prandtl, Pr, e do inverso do número de Graetz, G z D - 1 .

Relembrando a equação 7.30:

N u x = h - x k = 0 , 664 R e x 1 2   P r 1 3

Para transformar N u x em N u D nós vamos ter que multiplicar ambos os lados por D x :

N u D - = h - D k = 0,664 R e x 1 2   P r 1 3 D x

E lembrando que:

R e D x D = R e x

Então:

N u D - = 0,664 R e D x D 1 2   P r 1 3 D x

N u D - = 0,664 R e D D x 1 2   P r 1 3

Agora nós vamos ter que lançar mão de alguns artifícios matemáticos:

P r 1 3 = P r 1 2 . P r - 1 6

Vamos substituir?

N u D - = 0,664 R e D D x 1 2   P r 1 2 . P r - 1 6

N u D - = 0,664 R e D . P r . D x 1 2   . P r - 1 6

Sabendo que:

G z - 1 = x R e D . P r . D

Em função de G z - 1 :

N u D - = 0,664 G z - 1 - 1 2   . P r - 1 6

Passo 4

A letra (b) ainda não acabou, certo? Queremos saber se os este resultado é compatível com o número de Nusselt para comprimento de entrada combinada no limite de pequenos x.

Lembrando que o número médio de Nusselt para o comprimento da entrada é dado como:

N u D - = 3,66 tanh ⁡ 2,264 G z D - 1 3 + 1,7 G z D - 2 3   + 0,0499 G z D tanh ⁡ G z D - 1   tanh ⁡ 2 , 32 G z D - 1 6 . P r 1 6  

Quando x é muito pequeno, G z D - 1 também é!! Também podemos observar que G z D - 2 3 ≪ G z D - 1 3 :

N u D - = 3,66 tanh ⁡ 2,264 G z D - 1 3   + 0,0499 G z D tanh ⁡ G z D - 1   tanh ⁡ 2,32 G z D - 1 6 . P r 1 6  

É importante lembrar da matemática que tanh ⁡ ( ε ) = ε   quando ε → 0

N u D - = 3,66 2,264 G z D - 1 3 + 0,0499 G z D G z D - 1 2,32 G z D - 1 6 . P r 1 6

N u D - = 3,66 2,264 G z D - 1 3 + 0,0499 2,32 G z D - 1 6 . P r 1 6

Assumindo que 3,66 2,264 G z D - 1 3 ≫ 0,0499

N u D - = 3,66 2,32 2,264 G z D - 1 3 G z D - 1 6 . P r 1 6

N u D - = 0,665 [ G z D - 1   ]   - 1 2 . P r - 1 6

Bem próximo, não é?!

Resposta

  1. N u D = 0,332 G z - 1 - 1 2   . P r - 1 6 ;
  2. N u D - = 0,664 G z - 1 - 1 2   . P r - 1 6 .
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