Enunciado

Água entra em um tubo a 27°C com uma vazão de 450 k g h . A transferência de calor da parede do tubo para o fluido é dada pela expressão q ' s W m = a x , sendo o coeficiente a igual a 20 W m 2 e x(m) é a distância axial para a entrada do tubo.

  1. Partindo de um volume de controle diferencial propriamente definido, deduza uma expressão para a distribuição de temperaturas T m ( x ) na água.
  2. Qual é a temperatura de saída da água para uma seção aquecida com 30 m de comprimento?
  3. Esboce o comportamento da temperatura média do fluido, T m ( x ) , e da temperatura da parede do tubo, T s ( x ) , como uma função da posição ao longo do tubo, para condições de escoamento plenamente desenvolvido e de escoamento em desenvolvimento.
  4. Qual valor de um fluxo térmico na parede uniforme,   q ' s , (em vez de q ' s =   a x ), iria fornecer uma temperatura do fluido na saída do tubo igual à determinada na parte (b)? Para esse tipo de aquecimento, esboce as distribuições de temperaturas solicitadas na parte (c).

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaalaa meus queridos, bora seguir?

Na letra (a) nós precisamos definir o volume de controle, certo?

Então bora desenhar e ver o que está acontecendo:

Fazendo o balanço energético:

d q c o n v + m ˙ c p T m = m ˙ c p ( T m + d T m )

d q c o n v = m ˙ c p d T m

Podemos reescrever a variação do calor convectivo como:

d q c o n v = q ' s d x

Então:

q ' s d x = m ˙ c p d T m

Lembrando que:

q ' s W m = a x

Nossa equação ficará assim:

a x . d x = m ˙ c p d T m

Como queremos uma função para T m , o que precisamos ?

Integrar, certo?

∫ 0 x a x . d x = m ˙ c p ∫ T m , e n t T m ( x ) d T m

a x 2 2 = m ˙ c p T m x - T m , e n t

Isolando a temperatura no ponto x :

T m x = T m , e n t + a x 2 2 m ˙ c p

Terminamos a letra (a) e vamos seguindo pra (b)!!

Passo 2

Na letra (b) nós precisamos achar a temperatura de saída da água para uma seção aquecida com 30 m de comprimento.

Então:

x = 30   m

m ˙ = 450 k g h × 1   h 3600   s = 0,125 k g s

a = 20 W m 2

T m , e n t = 27 ° C

Para a água a 300 K podemos olhar a Tabela A.6:

c p = 4179 J k g K

Substituindo na equação do Passo 1:

T m x = 27 ° C + 20 W m 2 30   m 2 2 0,125 k g s 4179 J k g K

T m x = 44,2 ° C

É isso aí chegamos ao fim da letra (b) !!

Passo 3

Na letra (c) nós devemos esboçar o comportamento da temperatura média do fluido, T m ( x ) , e da temperatura da parede do tubo, T s ( x ) , como uma função da posição ao longo do tubo, para condições de escoamento plenamente desenvolvido e de escoamento em desenvolvimento

Nós sabemos que:

T m x = T m , e n t + a x 2 2 m ˙ c p

Uma parábola em relação a distância, x .

Mas nós também queremos saber como T s ( x ) se comporta e, para isso, nós vamos usar a equação para a troca de calor convectivo:

q ' s = h x π D . T s x - T m x = a x

T s x - T m x = a x h x π D

Isso nos trás uma relação entre as duas, certo?

Beleza!!

Quando o escoamento é completamente desenvolvido o coeficiente convectivo é constante, então à medida que a distância x aumenta, a diferença, T s x - T m x também vai aumentar de maneira linear.

Quando temos o escoamento em desenvolvimento, o coeficiente h ( x ) vai decrescer com a distância até atingir o desenvolvimento completamente desenvolvido.

Postando estes dados em um gráfico:

Aqui, a curva vermelha representa a parábola para T m x . A curva em azul representa T s x para o escoamento completamente desenvolvido, percebem que a distância entre as temperaturas aumenta, certo?

A linha em roxo representa o escoamento em desenvolvimento, alcançando o escoamento completamente desenvolvido quando h x = h .

Passo 4

Para a letra (d) nós precisamos lembrar lá do Passo 1:

q = m ˙ c p ( T m , s a i - T m , e n t )

O calor também pode ser escrito em função de q " s :

q = q " s π D L

Igualando:

q " s π D L = m ˙ c p ( T m , s a i - T m , e n t )

q " s = 0,125 k g s 4179 J k g K T m , s a i - T m , e n t π D 30   m

q " s = 95,44 D W m 2

Então nós temos o fluxo de calor em função do diâmetro específico do tubo.

Como o fluxo aqui não foi dado em função de x, quando integrarmos a equação lá do Passo 1:

T m x = T m , e n t + 95,44 x D m ˙ c p

E olhando o Passo 3:

T s x - T m x = 95,44 h x π D 2

Portanto T s x também é linear devido ao componente T m x .

Analogamente ao caso anterior:

E o que acharam desta?

Resposta

  1. T m x = T m , e n t + a x 2 2 m ˙ c p ;
  2. T m x = 44,2 ° C
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