Enunciado

Considere o desenvolvimento de uma camada-limite térmica laminar próxima a entrada do tubo mostrado na Figura 8.4. Quando a camada-limite fluidodinâmica é fina em relação ao diâmetro do tubo, a região de escoamento invíscico tem uma velocidade uniforme que é aproximadamente igual à velocidade média u m . Assim, o desenvolvimento da camada-limite é similar ao que ocorre em uma placa plana.

(a) Partindo da Equação 7.23, deduza uma expressão para o número de Nusselt local, NuD, como uma função do número de Prandtl, P r , e do inverso do número de Graetz, G z D - 1 . Represente graficamente a expressão usando as coordenadas mostradas na Figura 8.10a, para P r   =   0,7 . (b) Partindo da Equação 7.30, deduza uma expressão para o número de Nusselt médio, N u D - como uma função do número de Prandtl, P r , e do inverso do número de Graetz,   G z D - 1 . Compare os seus resultados com o número de Nusselt para comprimento de entrada combinada no limite de pequenos x.

Passo 1

Falaaaaaaaaaaaaaaaa Tribuxo?

Bora resolver mais uma questão!?

a) Primeiro vamos escrever a Equação 7.23

N u x = h x k = 0,332 R e x 1 2 P r 1 3

Vamos transformar N u x em N u D , multiplicando ambos os lados por D x

N u D = h D k = 0,332 R e x 1 2 P r 1 3 D x

Lembrando:

R e D x D = R e x

Então:

N u D = h D k = 0,332 R e D x D 1 2 P r 1 3 D x

N u D = h D k = 0,332 R e D D x 1 2 P r 1 3

Agora vamos brincar um pouco com a matemática:

P r 1 3 = P r 1 2   .   P r - 1 6

Substituindo:

N u D = h D k = 0,332 R e D D x 1 2 P r 1 2   .   P r - 1 6

Vamos dar uma ajeitadinha?

N u D = h D k = 0,332 R e D   .   P r   . D x 1 2 .   P r - 1 6

A gente sabe que:

G z - 1 = x R e D   .   P r   . D

Vamos aplicar:

N u D = h D k = 0,332 G z - 1 - 1 2 .   P r - 1 6

Agora temos que expressar graficamente os valores de N u D , onde G z - 1 varia de 0,001 até 1 (Valor de G z - 1   retiradados da Figura 8,10).

Passo 2

b) Primeiro vamos escrever a Equação 7.23

N u x = h x k = 0 , 664 R e x 1 2 P r 1 3

Vamos transformar N u x em N u D , multiplicando ambos os lados por D x

N u D = h D k = 0 , 664 R e x 1 2 P r 1 3 D x

Lembrando:

R e D x D = R e x

Então:

N u D = h D k = 0 , 664 R e D x D 1 2 P r 1 3 D x

N u D = h D k = 0 , 664 R e D D x 1 2 P r 1 3

Agora vamos brincar um pouco com a matemática:

P r 1 3 = P r 1 2   .   P r - 1 6

Substituindo:

N u D = h D k = 0 , 664 R e D D x 1 2 P r 1 2   .   P r - 1 6

Vamos dar uma ajeitadinha?

N u D = h D k = 0 , 664 R e D   .   P r   . D x 1 2 .   P r - 1 6

A gente sabe que:

G z - 1 = x R e D   .   P r   . D

Vamos aplicar:

N u D = h D k = 0 , 664 G z - 1 - 1 2 .   P r - 1 6

Agora vamos temos:

N u D = 3,66 tanh ⁡ 2,264 G z D - 1 3 + 1,7 G z D - 2 3 + 0,0499 G z D tanh ⁡ G z D - 1 tanh ⁡ 2,32 G z D - 1 6   .   P r 1 6  

Podemos observar que quando x   é muito pequeno G z D - 1 também será, e que G z D - 2 3 ≪ G z D - 1 3 :

N u D = 3,66 tanh ⁡ 2,264 G z D - 1 3 + 0,0499 G z D tanh ⁡ G z D - 1 tanh ⁡ 2,32 G z D - 1 6   .   P r 1 6  

Lembrando que tanh ⁡ ε = ε quando ε → 0

N u D = 3,66 2,264 G z D - 1 3 + 0,0499 G z D G z D - 1 2,32 G z D - 1 6   .   P r 1 6

N u D = 3,66 2,264 G z D - 1 3 + 0,0499 2,32 G z D - 1 6   .   P r 1 6

Vamos assumir que 3,66 2,264 G z D - 1 3 ≫ 0,0499

N u D = 3,66 2,32 2,264 G z D - 1 3 G z D - 1 6   .   P r 1 6

Foi divertido!!!!

Bora matar mais uma!

Resposta

N u D = 0,332 G z - 1 - 1 2 .   P r - 1 6

N u D = 0 , 664 G z - 1 - 1 2 .   P r - 1 6

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