Enunciado

Considere o escoamento de um fluido com viscosidade μ através de um tubo circular. O perfil de velocidade no tubo é expresso por u r = u m á x ( 1 - r n / R n ) , onde u m á x é a velocidade máxima do escoamento, a qual ocorre no eixo central; r é a distância radial do eixo central e u ( r ) é a velocidade do escoamento em qualquer posição r . Desenvolva uma relação para a força de arrasto exercida sobre a parede no sentido do escoamento por unidade de comprimento do tubo.

Passo 1

Muito bem galera, incialmente precisamos da formulação para encontramos a tensão de cisalhamento, e a mesma pode ser expressa como sendo:

τ w = - μ d u d r r = R = - μ u m á x d d r 1 - r n R n r = R

τ w = - μ u m á x - n r n - 1 R n r = R = n μ u m á x R

Passo 2

Observando que a quantidade de:

d u d r    

Ou desde de que y   =   R   –   r :

d u d r   =   - d u d y

É negativa no fluxo do tubo, e o sinal negativo é adicionado à relação τ w para os tubos para tornar a tensão de cisalhamento na direção positiva (fluxo) uma quantidade positiva.

Então, a força de atrito exercida pelo fluido na superfície interna do tubo torna-se...

F = τ w A w = n μ u m á x R 2 π R L = 2 n π μ u m á x L

Resposta

Portanto, a força de arrasto por unidade de comprimento do tubo é:

F L = 2 n π μ u m á x

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