Enunciado

Considere o escoamento laminar de um fluido newtoniano de viscosidade μ entre duas placas paralelas. O escoamento é unidimensional e o perfil de velocidade é expresso com u y = 4 u m á x   y h - y h 2 onde y é a coordenada vertical da superfície do fundo, h é a distância entre as duas placas e u m á x a velocidade máxima do escoamento que ocorre no plano do meio. Desenvolva uma expressão para a força de arrasto exercida em ambas as placas pelo fluido na direção do escoamento por unidade de área das placas.

Passo 1

Bora então!!

Temos um fluido newtoniano, então podemos usar a seguinte expressão:

τ = F D A

A questão da pra a gente a expressão do perfil de velocidade:

u y = 4 u m á x   y h - y h 2

Onde y é a coordenada vertical, h é a distância entre as duas placas e u m á x a velocidade máxima que vai estar bem no meio, entre as duas placas, poderiamos inclusive dizer que u m fica em h 2 .

Como a gente pode ver na imagem, a questão já determina o sistema de coordenadas, na placa inferior y = 0 , o escoamento é unidimensional, então y é a unica coordenada que a gente vai ter que se preocupar! Beleza?

A tesão de cisalhamento τ é dada por:

τ = μ d u d y

Bora colocar a mão na massa então?!

Passo 2

A tensão de cisalhamento é dada pela seguinte expressão:

τ = μ d u d y

Temos a expressão da velocidade dada no enunciado:

u y = 4 u m á x   y h - y h 2

Substituindo:

τ = μ × d 4 u m á x   y h - y h 2 d y

Agora a gente tira 4 u m á x pra fora da derivada, porque é constante:

τ = μ × 4 u m á x d y h - y 2 h 2 d y

Agora é só derivar!

τ = μ × 4 u m á x 1 h - 2 y h 2

Para a placa inferior y = 0 , então vamos substituir:

τ = μ × 4 u m á x h

Passo 3

A gente achou a tensão de cisalhamento da placa inferior, quando y = 0 , mas ainda falta achar o τ para a placa superior.

Mas o que vamos fazer aqui é assumir que existe uma simetria no perfil de velocidade e a tensão de cisalhamento da placa inferior é igual a da placa superior! Mas como sabemos dessa simetria?

A primeira dica é a imagem, que mostra uma parábola, depois o enunciado diz que a velocidade máxima u m á x fica no meio das duas placas! E por fim é só observar a expressão da velocidade:

u y = 4 u m á x   y h - y h 2

Ela tem a carinha de nada mais nada menos do que uma equação de 2º grau!

Sabendo disso, a questão pede a força de arrasto exercida pelo fluido em ambas as placas, se a gente pensar que é o mesmo fluido que ta exercendo a força tanto na placa de cima, quanto na de baixo, podemos dizer que:

2 τ = F D A

Substituindo:

F D = 2 × μ × 4 u m á x h × A p l a c a

A questão pede a força de arrasto F D por unidade de área, então:

F D A p l a c a = 8 u m á x h

Chegamos na nossa resposta!!!

Resposta

F D A p l a c a = 8 u m á x h

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