Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 2.Problemas - Ex. 68

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desse livro

Alguns fluidos não newtonianos comportam-se como um plástico de Bingham para o qual o esforço de cisalhamento é expresso como τ = τ y + μ ( d u / d r )   . No caso de escoamento laminar de plástico de Bingham num tubo horizontal de raio R , o perfil de velocidade é definido pela expressão u r = ( Δ P / 4 μ L )   ( r 2 - R 2 ) + ( τ y / μ ) ( r - R ) onde Δ P / L é a queda de pressão constante ao longo do tubo por unidade de comprimento, μ é a viscosidade dinâmica, r   é a distância radial do eixo central e τ y é a tensão de escoamento do plástico de Bingham. Determine:

  1. a tensão de cisalhamento numa parede do tubo
  2. a força de arrasto que atua na seção do tubo de comprimento L .

Passo 1

Bora entender o nosso enunciado um pouquinho melhor, para isso vamos fazer um esqueminha!

A gente sabe que nesse caso o fluido não é newtoniano, ele é um plástico de Bingham, isso quer dizer que precisamos aplicar uma tensão τ y   nele, para ai sim ele começar a sofrer deformação. Então a expressão de tensão cisalhante vai ser essa daqui:

τ = τ y + μ ( d u d r )

A questão da pra a gente também a expressão de perfil de velocidade:

u r = ( Δ P 4 μ L )   ( r 2 - R 2 ) + ( τ y μ ) ( r - R )

O raio do tubo é igual a R .

Com essas informações a gente já consegue resolver a letra a!

Agora, para a letra b a gente precisa da fórmula para calcular a força de arrasto, que é essa daqui:

F D = τ × A s

Agora, bora colocar a mão na massa??!!

Passo 2

Bora começar a fazer nossa letra a! Que pede a tensão de cisalhamento em uma parede do tubo:

Temos a expressão para a tensão de cisalhamento:

τ = τ y + μ ( d u / d r )

E temos também a expressão de velocidade

u r = ( Δ P 4 μ L )   ( r 2 - R 2 ) + ( τ y μ ) ( r - R )

Se a gente deriva essa espressão em relação a r , a gente pode substituir na expressão de tensão de cisalhamento, certo?

Então bora fazer isso!

d u d r = 2 r Δ P 4 μ L +   ( τ y μ )

A gente quer a tensão de cisalhamento na parede do tubo, quando a gente ta na parede do tubo podemos dizer que r = R , substituindo:

d u d r = 2 R Δ P 4 μ L +   ( τ y μ )

Agora arrumando a casa:

d u d r = 1 μ R Δ P 2 L +   τ y

Já podemos substituir na exepressão de tensão de cisalhamento, como tinhamos combinado!

τ = τ y + μ 1 μ R Δ P 2 L +   τ y

Organizando:

τ = 2 τ y + R Δ P 2 L

Fechou, temos a resposta da nossa letra a!

Passo 3

Agora vamos de letra b!

Na letra b o que a gente quer é encontrar a força de arrasto que atua na seção do tubo de comprimento L . Para isso a gente vai recorrer a seguinte expressão:

F D = τ × A s

O τ a gente já tem, encontramos na letra a.

τ = 2 τ y + R Δ P 2 L

Agora a área da secção tranversal do tubo é dada por:

A s = 2 π R L

Agora só temos que substituir τ e A s na expressão da força de arrasto F D :

F D = 2 τ y + R Δ P 2 L × 2 π R L

Arrumando:

F D = 4 π R L τ y + π R 2 Δ P  

É isso aêeee! Chegamos na nossa resposta!

Resposta

F D = 4 π R L τ y + π R 2 Δ P

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