Enunciado

Considere o escoamento sobre a superfície com perfis de velocidade e de temperatura dados como

u y = C 1 y + y 2 - y 3

T y = C 2 - e - 2 C 2 y  

Onde os coeficientes C 1 e C 2 são constantes. Determine as expressões para coeficiente de atrito ( C f ) e coeficiente de transferência de calor por convecção ( h ).

Passo 1

Antes de começarmos vamos estabelecer alguns pontos:

Camada limite é, de maneira geral, a região de fluido que é afetada pela presença da placa. Ou seja, antes de escoar sobre a superfície, o fluido possuía uma velocidade ( V ) e uma temperatura ( T ∞ ). Porém, ao entrar em contato com a placa uma porção do fluido foi desacelerada pelo atrito com a superfície e, uma outra porção teve sua temperatura alterada pelo contato com a placa que estava em uma temperatura T s ; essas duas porções chamaremos de camada limite hidrodinâmica e camada limite térmica, respectivamente;

A camada limite hidrodinâmica tem um comprimento genérico δ h e a camada limite térmica tem um comprimento δ t ;

Fora da camada limite hidrodinâmica ( y ≥ δ h ), u = V ;

Fora da camada limite térmica ( y ≥ δ t ), T = T _ ∞ ;

Além disso, serão aplicadas as seguintes relações:

τ w = μ   ∂ u ∂ y y = 0 = C f ρ V 2 2  

h = - k ∂ T ∂ y y = 0 T s - T ∞

Passo 2

Agora vamos determinar o coeficiente de atrito ( C f ). De acordo com a primeira relação precisamos obter ∂ u ∂ y y = 0 antes de chegar ao coeficiente de atrito.

δ u d y y = 0 = δ d y y = 0 ( C 1 y + y 2 - y 3 )

δ u d y y = 0 = C 1 1 + 2 y - 3 y 2 y = 0

δ u d y y = 0 = C 1 1 + 2 x 0 - 3 x 0

δ u d y y = 0 = C 1

Substituindo a derivada na primeira relação:

μ C 1 = C f ρ V 2 2

C f = 2 μ C 1 ρ V 2

Passo 3

Por fim, vamos determinar o coeficiente convectivo ( h ). De acordo com a segunda relação precisamos obter ∂ T ∂ y y = 0 antes de chegar ao coeficiente convectivo.

δ T d y y = 0 = δ d y y = 0 ( C 2 - e - 2 C 2 y )

δ T d y y = 0 = δ d y y = 0 ( C 2 ) - δ d y y = 0 ( e - 2 C 2 y )

δ T d y y = 0 = - δ d y y = 0 ( e - 2 C 2 y )

Chamando - 2 C 2 y = a :

δ T d y y = 0 = - δ d a a = 0 ( e a )   x   δ a d y y = 0

δ T d y y = 0 = - ( e a ) a = 0   x   ( - 2 C 2 ) y = 0

δ T d y y = 0 = - 1 x ( - 2 C 2 )

δ T d y y = 0 = 2 C 2

Substituindo a derivada na segunda relação:

h = - k 2 C 2 T s - T ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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