Enunciado

Considere novamente o jato e o carrinho do Problema 4.149, mas inclua uma força de arrasto aerodinâmico proporcional ao quadrado da velocidade do carrinho, F D = k u 2 , com k = 2,0   N s 2 / m 2 . Deduza uma expressão para aceleração do carrinho como uma função de sua velocidade e de outros parâmetros dados. Avalie a aceleração do carrinho para u = 10   m / s . Esta velocidade representa que fração da velocidade terminal do carrinho?

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência atuando.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema e não a resistência, então, F B x = 0 :

F S x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Como:

F S x = - F D

Temos:

- F D - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- F D - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- F D - a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

u 1 = ( v - u ) ;

u 2 = - ( v - u ) .

Substituindo F D = k u 2 :

- k u 2 - a r x ⋅ m = v - u ⋅ - ρ ⋅ v - u ⋅ A - v - u ⋅ ρ ⋅ v - u ⋅ A

a r x = 2 v - u 2 ⋅ ρ A - k u 2 m

Passo 4

Sendo:

v = 35   m / s ;

m = 100   k g ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

A = 0,001   m 2 ;

k = 2,0   N s 2 / m 2 ;

u = 10   m / s .

Temos:

a r x = 2 35 - 10 2 ⋅ 1000 ⋅ 0,001 - 2 ⋅ 10 2 100 = 10,5   m / s 2

Passo 5

Para avaliarmos a velocidade terminal do carrinho, temos que a r x = 0 , então:

2 v - u t 2 ⋅ ρ A - k u t 2 = 0

u t = v 1 + k 2 ρ A

Aplicando os dados:

u t = 35 1 + 2,0 2 ⋅ 1000 ⋅ 0,001 = 17,5   m / s

Passo 6

Calculando a fração que a velocidade obtida representa da velocidade terminal do carrinho:

u u t = 10,5 17,5 = 0,6

Resposta

a r x = 10,5   m / s 2

u u t = 0,6

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