Enunciado

Um jato de água saindo de um bocal estacionário a 10   m / s ( A j = 0,1   m 2 ) atinge uma pá defletora montada sobre um carrinho conforme mostrado. A pá vira o jato em um ângulo θ = 40 ° . Determine o valor da massa M requerida para manter o carrinho estacionário. Se o ângulo da pá, θ , for regulável, trace um gráfico do valor de M necessário para manter o carrinho estacionário em uma função de θ para 0 ≤ θ ≤ 180 ° .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há força de campo atuando, então, F B x = 0 :

F S x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

F S x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Sendo F S x = - M ⋅ g , temos:

- M ⋅ g = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

u 1 = V ;

u 2 = V ⋅ cos ⁡ θ ;

A = A j .

Temos então que a massa é dada por:

- M ⋅ g = V 2 ρ A j cos ⁡ θ - 1

M = V 2 ρ A j g 1 - cos ⁡ θ

Passo 4

Determinando o valor da massa M requerida para manter o carrinho estacionário.

Sendo:

V = 10   m / s ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

A j = 0,1   m 2 ; 1020,408

g = 9,8   m / s 2 ;

θ = 40 ° .

Temos:

M = 10 2 ⋅ 1000 ⋅ 0,1 9,8 1 - cos ⁡ 40 ° = 238,7   k g

Passo 5

Traçando um gráfico do valor de M necessário para manter o carrinho estacionário em uma função de θ para 0 ≤ θ ≤ 180 ° .

Resposta

M = 238,7   k g

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