Enunciado

Considere um tubo em U preenchido com mercúrio, exceto por 18   c m de altura na parte superior, como mostra a Figura P 3 - 109 . O diâmetro do braço direito do tubo em U é D = 2   c m e o diâmetro do braço esquerdo é o dobro disso. Óleo com gravidade específica de 2,72 é despejado no braço esquerdo, forçando parte do mercúrio do braço esquerdo a passar para o direito. Determine a quantidade máxima de óleo que pode ser adicionada ao braço esquerdo.

Passo 1

Antes de tudo vamos assumir e enunciar algumas propriedades, assumindo que os dois líquidos são incompressíveis e que o tubo em U é perfeitamente vertical.

Temos a gravidade específica do óleo G E = 2,72 e 13,6 para o mercúrio.

Para determinarmos a quantidade de volume de óleo máxima, temos que calcular o quão o mercúrio ira se deslocar com o despejar do óleo.

Inicial o nível de mercúrio nos dois braços são iguais, após o despejo do óleo no braço esquerdo, isto vai fazer com que nível de mercúrio no braço direito aumente e nível de mercúrio no braço esquerdo diminua. Note que a mesma quantidade que diminui o nível de mercúrio no braço esquerdo irá aumentar no braço direito. Portanto, se uma nível x de mercúrio diminuir no braço esquerdo ira aumentar um nível x no direito, mas note que o diâmetro dos braços são diferentes, e terão o mesmo volume de Mercúrio, logo o nível x de um braço será maior que outro.

Passo 2

Seguindo oque foi dito nos passo 1, temos:

Verificando isto:

V e s q u e = V d i r e

π 2 d 2 x = π d 2 h

Isolando h e simplificando:

h = 4 x

Agora, podemos determinar x calculando a equivalência de pressões em cada braço, escolhendo um ponto equivalente na horizontal e temos:

P a t m + P e s q u = P a t m + P d i r

P a t m + ρ ó l e o g h 1 = P a t m + ρ H g g h H g

P a t m + ρ ó l e o ∙ g ∙ h ó l e o + x = P a t m + ρ H g ∙ g ∙ 5 x

S G ó l e o ρ w g ∙ h ó l e o + x = S G H g ρ w g ∙ 5 x

Isolando x , temos:

x = S G ó l e o h ó l e o 5 ∙ S G H g - S G ó l e o = 2,72 ∙ 18 5 ∙ 13,6 - 2,72 = 0,75   c m

Passo 3

Agora que temos o deslocamento x da coluna, quando foi despejado óleo, podemos calcular o volume máximo que foi despejado para este deslocamento.

V m a x = π ∙ 2 d 2 2 ∙ h ó l e o + x

V m a x = π ∙ 2 2 ∙ 18 + 0,75 = 236   c m 3 = 0,236   L  

Resposta

V m a x = 0,236   L  

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