Enunciado

Como continuação do Problema 9-41, calcule a vazão em volume por unidade de largura para dentro da página da Figura P9-41 com base nos primeiros princípios (integração do campo de velocidade). Compare o seu resultado com aquele obtido diretamente da função corrente. Discuta.

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certinho? Esse é um exercício que foi feito para a gente entender melhor a relação entre a função corrente ψ e cálculo de vazão por unidade de largura V ˙ w ( w é a largura das placas). Então vamos dominar esse assunto!

O enunciado quer que a gente calcule a vazão por unidade de largura V ˙ w do escoamento do Problema 9-41 de duas formas. A primeira forma é a partir da integração do campo de velocidade como está mostrado na equação abaixo. Por esse caminho, calculamos a vazão volumétrica V ˙ pela integral e depois dividimos ela pela largura w das placas.

V ˙ = ∫ A u ⋅ d A

A segunda forma é a partir da função de corrente ψ de escoamento incompressíveis (equação 9-25 do livro). Quando subtraímos o valor da função corrente ψ 0 da linha de corrente que está em contato com a placa inferior do valor da função de corrente ψ h da linha de corrente que está em contato com a placa superior, encontramos a vazão por unidade de largura V ˙ w que passa pelas placas.

V ˙ w = ψ h - ψ 0

A figura abaixo mostra essas duas formas de se calcular vazão por unidade de largura.

u é a componente da velocidade do eixo x e v é a componente da velocidade no eixo y . h é a distânica entre as placas. ψ h é a função corrente do fluido em contato com a placa superior (onde y = h ). ψ 0 é a função corrente do fluido em contato com a placa de baixo (onde y = 0 ). A é a área transversal pela qual o fluido escoa. d P d x é a taxa de variação da pressão ao longo do eixo x .

Passo 2

Para integrar a velocidade através da área A , temos que considerar e a área do elemento infinitesimal d A que compõe a área total é igual a largura w das placas multiplicada pela espessura d y .

d A = w ⋅ d y

Usando essa informação na integral, achamos:

V ˙ = ∫ A u ⋅ d A       ⟹     V ˙ = ∫ 0 h u ⋅ w ⋅ d y

A velocidade u é dada no enunciado do Problema 9-41.

u = 1 2 μ d P d x y 2 - h y

Substituindo essa expressão na integral:

V ˙ = ∫ 0 h u ⋅ w ⋅ d y       ⟹       V ˙ = ∫ 0 h 1 2 μ d P d x y 2 - h y ⋅ w ⋅ d y

Como 1 2 μ d P d x e w são termos constantes, podemos tirá-los da integral.

V ˙ = 1 2 μ d P d x w ∫ 0 h y 2 - h y d y       ⟹       V ˙ = 1 2 μ d P d x w y 3 3 - h y 2 2 0 h

V ˙ = 1 2 μ d P d x w h 3 3 - h ⋅ h 2 2 - 1 2 μ d P d x w 0 3 3 - 0 ⋅ 0 2 2

V ˙ = - h 3 1 2 μ d P d x w

Dividindo V ˙ por w :

V ˙ w = - h 3 12 μ d P d x w w       ⟹       V ˙ w = - h 3 12 μ d P d x

Passo 3

Agora vamos calcular V ˙ w pelas funções corrente ψ 0 e ψ h , usando os valores de ψ 0 e ψ h obtidos no Problema 9-41.

V ˙ w = ψ h - ψ 0       ⟹       V ˙ w = - h 3 12 μ d P d x - 0       ⟹       V ˙ w = - h 3 12 μ d P d x

Passo 4

Como poderíamos prever, os dois resultados são iguais. Isso acontece porque o escoamento é incompressível. Dessa forma, conseguimos calcular a vazão volumétrica dividida pela largura V ˙ w através da diferença entre dois valores de função corrente ψ . Se o escoamento fosse compressível e permanente, a diferença entre dois valores de função corrente ψ seria igual à vazão mássica de fluido m ˙ dividida pela largura w das placas.

Resposta

V ˙ w = - h 3 12 μ d P d x

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