Enunciado

Um copo de 350   m l , de 75   m m de diâmetro, parcialmente cheio de água, é preso à extremidade de um carrossel de 2,4   m de diâmetro, que gira a 12   r p m . Até que altura o copo pode encher sem derramar água? (Dica: Considere que o copo seja muito menor do que o raio do carrossel.)

Passo 1

Fala galera!! Tudo certo com vocês??

Antes de tudo, vamos pegar os dados fornecidos no problema.

Volume do corpo: V = 350   m l

Diâmetro do corpo: D = 75   m m

Diâmetro do carrossel: D c a r r = 2 , 4   m

Rotação do carrossel: Ω = 12   r p m

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos começar encontrando a altura do recipiente. Temos que o volume:

V = 350   m l ⋅ 1   m 3 10 6   m l = 3 , 5 × 10 - 4   m 3

O diâmetro:

D = 75   m m ⋅ 1   m 10 3   m m = 7,5 × 10 - 2   m

Sabem que para um corpo cilíndrico seu volume é dado por:

V = π r 2 h = π 2 D 2 h

Substituindo, temos:

3,5 × 10 - 4   m 3 = π 2 7,5 × 10 - 2   m 2 h

h = 3,96 × 10 - 2   m

h = 39 , 6   m m

Passo 3

Agora, vamos determinar a aceleração em direção ao centro do carrossel. Nos foi dito que a velocidade angular é:

Ω   =   12 r e v / m i n 1   m i n 60   s 2 π   r a d r e v = 1,26   r a d / s

Então, para R = 1,2   m , temos que a aceleração é dada por:

a x = Ω 2 R = 1,26   r a d / s 2 ( 1,2   m ) = 1,905   m / s 2  

Então, para rotação constante, a superfície da água no vidro irá inclinar no ângulo de:

tan ⁡ θ = a x g + a z = 1,905   m / s 2 9,81   m / s 2 + 0 = 0,194  

Como tangente de um angulo pode ser dado pelo cateto oposto divido pelo cateto adjacente, podemos dizer que:

tan ⁡ θ = z r   → z = r tan ⁡ θ

Substituindo:

z = 7,5 × 10 - 2   m 2 0,194   = 7,28 × 10 - 3   m = 7,28   m m

Passo 4

Assim, o vidro deve ser enchido até:

H = h - z = 39,6   m m - 7,28   m m = 32,32   m m

Portanto, o copo pode ser enchido até uma altura de 32,32   m m .

Resposta

H = 32,32   m m

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