Enunciado

Determinada parte da tubulação de ferro fundido de um sistema de distribuição de água envolve uma seção paralela. Ambos os tubos paralelos têm um diâmetro de 30 cm, e o escoamento é completamente turbulento. Um dos ramais (tubo A) tem 1000 m de comprimento, enquanto o outro ramal (tubo B) tem 3000 m de comprimento. Se a vazão através do tubo A for de 0,4 m³/s, determine a vazão através do tubo B. Despreze as perdas menores e considere que a temperatura da água seja de 15 0 C . Mostre que o escoamento é completamente turbulento e, portanto, o atrito não depende do número de Reynolds.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Primeiramente, para o problema, assumimos que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. Os efeitos de entrada são insignificantes e, portanto, o fluxo é totalmente desenvolvido.

3. As perdas menores são insignificantes.

4. O fluxo é totalmente turbulento e, portanto, o fator de atrito é independente do Número de Reynolds (a ser verificado).

Da tabela A-3 do livro, com a água à 15 0 C , temos que:

ρ = 999,1 k g m 3     e     μ = 1,138 ⋅ 10 - 3 k g m ⋅ s

E a rugosidade e = 0,00026   m (tubulação de ferro fundido).

Passo 2

Vamos lá!

A velocidade em A pode ser encontrada logo de cara:

V A = V ˙ A c = 4 V ˙ π D 2 = 4 ⋅ 0,4 m 3 s π 0,3 m 2                           → V A = 5,659 m s

Quando dois tubos são paralelos em um sistema de tubulação, a perda de carga para cada

o tubo deve ser o mesmo. Quando as perdas menores são desconsideradas, a perda do fluxo totalmente desenvolvido em um tubo de comprimento L e diâmetro D são:

h L = f L D V 2 2 g      

Escrevendo isso para os dois tubos e definindo-os iguais entre si, e observando que D A = D B (dado) e f A = f B (a ser verificado) dá:

f A L A D A V A 2 2 g = f B L B D B V B 2 2 g               → V B = V A L A L B = 5,659 m s 1000 m 3000 m                                 → V B = 3,267 m s

Após encontrarmos a valocidade em B, podemos descobrir o valor da vazão:

V ˙ B = A c V B = π D 2 4 V B = π ( 0,3 m ) 2 4 3,267 m s                   → V B ˙ = 0,231 m 3 s

Passo 3

Agora vamos mostrar que o atrito independe o Reynolds:

A velocidade no tubo B é menor. Portanto, se o fluxo for totalmente turbulento no tubo B, também será totalmente turbulento no tubo A. O número de Reynolds no tubo B é:

R e B = ρ V B D μ = 999,1 k g m 3 ⋅ 3,267 m s ⋅ 0,3 m 1,138 ⋅ 10 - 3 k g m ⋅ s = 860 ⋅ 10 3

E a rugosidade relativa é:

e D = 0,00026 m 0,30 m = 0,00087

No gráfico de Moody, observamos que, para uma rugosidade relativa de 0,00087, o fluxo é totalmente turbulento para o número de Reynolds superior a 106. Portanto, o fluxo nos dois tubos é totalmente turbulento e, portanto, a suposição de que o fator de atrito é o mesmo para os dois tubos é válido.

Resposta

Portanto:

V B ˙ = 0,231 m 3 s

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