Enunciado

Óleo a 20 0 C escoa através de um funil de vidro vertical que consiste em um reservatório cilíndrico de 15 cm de altura e um tubo de 1 cm de diâmetro e 25 cm de altura. O funil sempre é mantido cheio pela adição de óleo do tanque. Supondo que os efeitos da entrada sejam desprezíveis, determine a vazão do óleo através do funil e calcule a "eficácia do funil", que pode ser definida como a razão entre a vazão real através do funil e a vazão máxima para o caso "sem atrito".

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Primeiramente, para o problema, assumimos que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. Os efeitos de entrada são insignificantes e, portanto, o fluxo é totalmente desenvolvido (a ser verificado).

3. As perdas por atrito no reservatório cilíndrico são desprezíveis, pois seu diâmetro é muito grande e assim a velocidade do óleo é muito baixa.

Segundo a tabela A-7, temos que o óleo para a temperatura de 2 0 0 C : ρ = 888,1   k g / m ³ e μ = 0,8374 k g m ⋅ s .

Passo 2

Tomamos o ponto 1 na superfície livre do óleo no reservatório cilíndrico e o ponto 2 na saída do funil, que também é considerado como nível de referência ( z 2 = 0 ). O fluido em ambos os pontos é aberto para a atmosfera (e, portanto, P 1 = P 2 = P a t m ) e que a velocidade do fluido na superfície livre é insignificante ( V 1 ≅ 0 ). Para o caso ideal de “fluxo sem atrito”, a saída

velocidade é determinada a partir da equação de Bernoulli como:

P 1 ρ ∙ g +   α 1 ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α 2 ∙ V 2 2 2 g + z 2           → V 2 = 2 g z 1                   ( 1 )

Substituindo os valores, temos que:

V 2 = 2 ⋅ 9,81 m s 2 ⋅ 0,40   m = 2,801 m s

Essa é a velocidade do fluxo para o caso sem atrito e, portanto, é o fluxo máximo velocidade. Em seguida, a vazão máxima e o número de Reynolds se tornam:

V ˙ m a x = V 2 A 2 = 2,801 m s ⋅ π 0,01 m 2 4                 → V ˙ m a x = 2,2 ⋅ 10 - 4 m 3 s

E

R e = ρ V D μ = 888,1 k g m 3 ⋅ 2,801 m s ⋅ 0,01   m 0,8374 k g m ⋅ s = 29,71

Passo 3

Então, o R e é menor que 2300. Portanto, o fluxo é laminar, como postulado. (Observe que, no caso real, a velocidade e, portanto, a O número de Reynolds será ainda menor, verificando se o fluxo é sempre laminar). O comprimento da entrada neste caso é:

L h = 0,05 R e D = 0,05 ⋅ 29,71 ⋅ 0,01 m = 0,015   m

Que é muito menor que o comprimento do tubo de 0,25 m. Portanto, os efeitos de entrada podem ser negligenciados como postulados. Observando que o fluxo através do tubo é laminar e pode ser assumido como totalmente desenvolvido, a taxa de fluxo pode ser determinada a partir da relação apropriada com θ = - 90   ° , uma vez que o fluxo é descendente na direção vertical, então lembrando da fórmula da vazão em volume no escoamento laminar em um tubo horizontal:

V ˙ = Δ P - ρ g L s e n θ π D 4 128   μ L

Onde Δ P = e n t r a d a   d o   t u b o   -   s a í d a   d o   t u b o = ( P a t m   +   ρ g h c i l i n d r o ) - P a t m = ρ g h c i l i n d r o é a diferença de pressão no tubo, o L =   h t u b o ,     e     s i n θ = s i n   ( - 90   ° ) = - 1 .

Assim, substituindo os termos:

V ˙ = ρ g h c i l i n d r o + h t u b o π D 4 128   μ L = 888,1 k g m 3 ⋅ 9,81 m s 2 0,15 m + 0,25   m π 0,01 4 128 ⋅ 0,8374   k g / m s ⋅ 0,25 m

V ˙ = 4,09 ⋅ 10 - 6 m 3 s

Então a "eficácia do funil" se torna:

E = V ˙ V ˙ m a x = 4,09 ⋅ 10 - 6 2,2 ⋅ 1 0 - 4             → E = 0,0186   o u   1,86 %

Resposta

Portanto:

V ˙ = 4,09 ⋅ 10 - 6 m 3 s

E = 0,0186   o u   1,86 %

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