Enunciado

Como discutido na Seção 5.2, a aproximação pela capacitância global pode ser aplicada se B i < 1 e quando implementada de forma conservativa para um longo cilindro, com o comprimento característico sendo o raio do cilindro. Após sua extrusão, um longo bastão de vidro com diâmetro D = 15   m m é suspenso horizontalmente em uma sala e resfriado a partir de sua temperatura inicial por convecção natural e radiação. Em quais temperaturas do bastão a aproximação pela capacitância global pode ser aplicada? A temperatura do ar quiescente é a mesma da vizinhança, T ∞ = T v i z = 27 ° C, e a emissividade do vidro é ε = 0,94 .

Passo 1

E aí, beleza?

Se ajeita na cadeira, pegue um lápis, papel e bora lá!

Começamos o nosso problema obtendo algumas propriedades sobre os materiais do exercício nas tabelas do Apêndice A, assumindo o ar com temperatura de 350   K e o vidro de 300   K .

Tabela A.3 - Vidro ( T = 300   K ) :

k g = 1,4   W / m ⋅ K

Tabela A.4 – Ar ( T = 350   K ) :

v = 20,92 × 10 - 6   m 2 / s

α = 29,9 × 10 - 6   m 2 / s

k = 30 × 10 - 3   W / m ⋅ K

P r = 0,700

β = 1 T s = 1 350 = 0,00286   K - 1

Passo 2

O maior coeficiente de transferência de calor para o qual a aproximação da capacitância concentrada é válida pode ser encontrado em B i = 0,1 , onde o comprimento característico é o raio do cilindro, r o .

Nesse caso, o coeficiente de transferência de calor deve ser o valor efetivo que inclui convecção e radiação:

h e f = h - + h r

Portanto, com:

B i = h e f D k g

Temos:

h e f = 0,2 k g D = 0,2 ⋅ 1,4 0,015 = 18,67   W / m 2 ⋅ K

O coeficiente de transferência de calor por convecção livre pode ser encontrado a partir da correlação de Churchill-Chu:

N u - D = h - D k = 0,60 + 0,387 R a D 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

Onde o número de Rayleigh é:

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v α

Passo 3

Devemos adotar T s = 400   K para estimarmos o coeficiente de transferência de calor por radiação:

h r = ε σ T s + T v i z T s 2 + T v i z 2

h r = 0,94 ⋅ 5,67 × 10 - 8 ⋅ 400 + 300 ⋅ 400 2 + 300 2

h r = 9,33   W / m 2 ⋅ K

Assim, temos que:

h e f = h - + h r

18,67 = h - + 9,33

h - = 9,34   W / m 2 ⋅ K

Calculando Nusselt:

N u - D = h - D k = 9,34 ⋅ 0,015 30 × 10 - 3

N u - D = 4,67

Calculando o número de Rayleigh pela seguinte equação:

R a D = 1 387 N u - D - 0,60 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 6

R a D = 1 387 4,67 - 0,60 1 + 0,559 0,707 9 16 8 27 6

R a D = 13200

Passo 4

Agora, pela equação de Rayleigh do Passo 2, obtemos:

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v α

13200 = 9,8 ⋅ 0,00286 ⋅ T s - 300 ⋅ 0,015 3 20,92 ⋅ 29,9 × 10 - 12

T s = 388   K

Isso é razoavelmente próxima à suposição inicial de T s = 400   K .

Uma maior precisão poderia ser obtida repetindo os cálculos com a nova estimativa de temperatura encontrada.

As iterações sequentes convergem em T s = 395   K , portanto, a aproximação de capacitância concentrada é válida para:

T s < 395   K

Até a próxima questão!

Resposta

T s < 395   K

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